2.2.1函数的单调性

1、,1.3.1 函数的单调性 第一课时,德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：,思考1:观察“艾宾浩斯遗忘曲线”，你能发现什么规律？,函数的单调性,思考2:我们发现随着时间t 的增加，记忆保留量y在不 断减少；从图象上来看， 从左至右图象是在逐渐下降 的。,x,y,o,-1,x,O,y,1,1,2,4,-1,-2,1,1.从左至右图象 2.在区间 (-, +)上，随着x的增大，f(x)的值随着 ,2.(0,+)上从左至右图象上升， 当x增大时f(x)随着增大,1,上升,增大,下降,减小,思考1：画出下列函数的图象，根据图象思考当 自

2、变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的？,x,y,o,-1,x,O,y,1,1,2,4,-1,-2,1,1,在某一区间内， 当x的值增大时,函数值y也增大图象在该区间内逐渐上升；,当x的值增大时,函数值y反而减小图象在该区间内逐渐下降。,函数的这种性质称为函数的单调性,思考2：通过上面的观察，如何用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标的变化来说明上升或下降趋势？,思考3：如何用数学符号语言定义函数所具有的这种性质？,图象在区间D逐渐上升,x,0,y,方案二：,对区间D内 任意 x1，x2 ， 当x1x2时，都有 f(x1)f(x2),图象在区间D逐渐上升,x,0,x1,y,对区间D内 x1，x

3、2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2),都,设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.,定义,任意,区间D内随着x的增大，y也增大,图象在区间D逐渐上升,0,x1,f (x1),f (x2),y,那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数，D称为f(x)的单调 减 区间.,类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.,x,设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.,如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2，,设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.,如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2，,那么就说在f(x)这个区间上是单调增

4、函数，D称为f(x)的单调 区间.,增,当x1x2时，都有 f (x1 ) f(x2 ) ，,单调区间,如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。,（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;,注意：,判断1：函数 f (x)= x2 在 是单调增函数；,（2） x 1, x 2 取值的任意性,判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2) f(1)，则 函数 f (x)在R上是增函数；,解:函数y=f(x)的单调区间有5,2）,2,1) ，1，3), 3，5.,例1. 如图是定义在闭区间5,5上的函数 y =

5、f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函数？,其中y=f(x)在区间2，1)，3，5上是增函数；,说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可. 2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况,练一练 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.,2,5,4,4,x,y,O,-1,3,2,1,解:函数y=f(x)的单调区间有1,0）,0,2) ，2，4), 4，5.,其中y=f(x)在区间0，2)，4，5上是增函数；,在区间1，0），2，4)上是减函数.,例2 证明函数 f(x) = 3 x2在区间R上是增函数

6、,例2 证明函数 f(x) = 3 x2在区间R上是增函数,设 x1，x2 是 R上任意两个实数，且x1x2,证明：,则 f(x1) - f(x2) = (3x1+2) - (3x2+2),= 3（x1-x2）,由 x1x2 ，得 x1 - x20,于是 f(x1) - f(x2) 0,即 f(x1) f(x2),所以 f(x)=3x+2在R上是增函数,作差,设值,变形,定号,下结论,用定义证明函数单调性的四步骤：,（1）设值:,在所给区间上任意设两个实 数,（2）作差 （3）变形,作差 ：常通过“因式分解”、“通分”、“配方”等 手段将差式变形为因式乘积或平方和形式,判断 的符号,（4）结论:,并作出单调性的结论,1. 两个定义：增函数、减函数的定义；,3.一个数学思想：数形结合,2：两种方法,例2、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。,证明:,1,2,3,4,1.设值;,2.作差变形;,3.定号;,4.下结论,？,画出函数 图象，写出定义域并写出单调区间：,_,讨论：根据函数单调性的定义,y,O,x,在 (0,+) 上任取 x1、 x2 当x1 x2时，都有f(x1) f(x