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1、2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义,数乘定义：,向量的夹角,O,A,B,已知两个非零向量 和 ，作 ， ，则 叫做向量 和 的夹角,问 题,一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，那么力F 所做的功应当怎样计算？,为此，我们引入向量“数量积”的概念。,功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给 我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运 算的结果呢？,问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？,两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。,功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；,平面向量的数量积的定义,规定：零向量与任意向量的数量积为0，即,（1

2、）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.,（3） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 0，180,说明：,已知非零向量 与 ，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定,思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？,当0 90时 为正；,当90 180时 为负。,当 =90时 为零。,数量积符号由cos的符号所决定,问题：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？,实数同向量积的线性运算的结果是向量 两向量的数量积是一个实数，是一个数量,向量数量积的性质,例 、在ABC中， 求,练习:,平面向量数量积的几何意义

3、,投影一定是正数吗？,说明：,（2）投影也是一个数量，不是向量。,（1）,练一练：,交换律：,对数乘的结合律：,分配律：,数量积的运算律,下面我们证明运算律（3）：,分配律：,.,O,C,A,A1,B,B1,想一想：, 向量数量积不满足结合律 .,向量的数量积满足结合律吗？,说明：,应用举例,、 、 ,常用公式,例、,利用平面向量数量积求解长度问题,变式：,利用平面向量数量积求解夹角问题,课堂小结：,1、向量的数量积的定义,已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为，我们把 数量 叫做 与 的数量（或内积,点乘），即,规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0,2、向量数量积的几何意义,3、数量积运

4、算律,（交换律）,（数乘结合律）,（分配律）,课堂小结：,4、向量数量积的性质,5. 常用a 求向量的模. 常用求向量的夹角.,1、有四个式子： 其中正确的个数为（ ） A、4个B、3个C、2个D、1个 2、已知、都是单位向量，下列结论正确的是（ ） A、B、C、 D、 3、有下列四个关系式：，其中正确的个数是（） A、1B、2C、3D、4,D,B,A,作业,4.判断下列命题正确与否： （1）若 a =0 ，则对任一向量 b ，有 ab=0 。 （2）若 a 0 ，则对任一非零向量 b ，有 ab0。 （3）若 a 0 ，ab = 0 ，则 b = 0 。 （4）若 ab = 0 ，则 a、b 中至少有一个为0 。 （5）若 a 0 ，ab= ac ，则 b = c 。 （6）若 ab= ac ，则 bc

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