信号与系统第三章+.ppt

1、,Chapter3,第三章 连续时间信号与系统的频域分析,本章要点,信号表示为正交函数集,周期信号的频谱,常用信号的傅里叶变换,傅立叶变换的性质,Parsevals定理与能量频谱,F,F,F,F,F,F,F,F,F,F,F,连续时间系统的频域分析,系统无失真传输的条件,理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应,非周期信号的傅里叶变换,调制与解调,周期信号的傅里叶级数,引言,变换域分析就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信号 ，或者说，信号 用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的正交完备集。 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章付里叶变换主要从信

2、号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输和处理问题。,信号表示为正交函数集,信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。,一、矢量的分量和矢量的分解,矢量 在矢量 上的分量示意图,图(a)中,用分量 来近似代表原矢量 的误差矢量。,图 中 为 在 上的斜投影，可有 无穷多个斜投影，用斜投影近似代表原矢量 时， 都大于 。,结论：若用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量 最小，则这个分量只能是原矢量的垂直投影。,图(a)中,从几何图上可得：,从解析角度： 则令 也可导出,是在最小平方误差的意义上标志着 和 相互近似程度。,平面矢量分解图,和 是一组模为1的正 交矢量

3、,空间中的矢量分解图,则,1、函数的分量,设在区间 内，用函数 在另一 函数 中的分量 来近似的代表 原函数 。,取何值时，得到最佳近似？,令,解得,是在最小方均误差的意义上代表二函数 和 间的相关联的程度。,称 和 在区间 内为正交，构成 了一个正交函数集。,称 与 正交，组成正交矢量。,例1：,试用正弦函数sint 在区间（0，2 ）内来近似表示此函数，使均方误差最小。,所以,解：,在区间 内近似为,例2：试用函数 在区间 内近似表示,解：,也即cost不包含sint分量，或说cost与sint正交。,2、正交信号空间,设n个函数 构成一函数集，如在区间 内满足下列正交特性：,常数,则称此

4、函数集为正交函数集，这n个 构成一个n维正交 信号空间。任意一个代表信号的函数f（t），在区间 内可以用组成信号空间的n个正交函数的线性组合来近似。,理论上讲,在使近似式的均方误差最小条件下，可求得,均方误差,3、用完备正交函数集表示信号,如果用正交函数集 ， ， 在区间 近似表示函数 方均误差为 若令 趋于无限大， 的极限等于零 则此函数集称为完备正交函数集,定义1：,定义2：,如果在正交函数集 之外， 不存在函数x（t）,这有两层意思：,1，如果x（t）在区间内与 正交，则x（t）必属 于这个正交集。,2，若x（t）与 正交，但 中不包含x（t）， 则此集不完备。,4、复变函数的正交特性。

5、,若 和 是t 的复变函数，则有关正交特性 的描述如下：,若 在区间 内可由 来近似， 使均方误差幅度最小的 之最佳值是,两个复变函数 和 在区间 内互相 正交的条件是：,如果在区间 内，复变函数集 ，,满足,则称此为正交函数集,例:(1) 三角函数集为完备正交函数集。,例:(2)复指数函数集,是一个复变函数集，也是完备正交函数集。,3.1 周期信号的傅里叶级数,1822年法国数学家付里叶（17681830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证 明了将周期函数展开为正弦级数的原理。,一、三角函数集、复指数函数集是完备正交函数集,1、三角函数集：,representation

6、 of signal: Fourier Series,二、周期信号f（t）表示为付里叶级数,由数学分析知，当周期信号f（t）满足狄氏条件时， 可展开为三角付里叶级数或复指数傅立叶级数。,狄氏条件：,（1）在一周期内，间断点的数目有限；,（2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；,（3）在一周期内，,电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当f（t)满足 狄氏条件时， 才存在。,1，周期信号f（t）展开为三角付里叶级数,设f（t）是周期为T的函数,2、周期信号f（t）展开为复指数付里叶级数,证明：,三、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。,F,F,解:,解:,解:,解:,3.2 周期信号的频谱,为

7、了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率 分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示 方法。,一、 频谱图的概念,由上一节知周期信号f（t）可用付里叶级数来表示。,或,二 、典型周期信号的频谱,周期矩形脉冲信号,F（t）,T,t,T：脉冲周期,：脉冲宽度,A：脉冲幅度,第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数,f(t)是偶函数,bn=0,T,：三角函数公共周期,第二步：展成指数形式付里叶级数FS,当 时,第三步：频谱分析,与,之比值有关，取,与,包络线均为,为离散频率,即,计算第一个振幅为零的谐波次数n,幅度频谱图,0 an0,0,Cn0,Cn0,即,即,-,第四步：讨论频谱结构

8、与 、T 的关系,1.当 不变，T增大，谱线间隔 减小，谱线逐渐密集，幅度 减 小,当,非周期信号,连续频率,非周期信号连续频谱,此例中 为一实数。幅度频谱与相位频谱可以合画在一张图上。,对于一般频谱，常以0频率开始 振幅将为包络线最大值的1/10的频率之间的频带定义为信号的频带宽度,2.当T不变， 减小时,T不变,间隔不变,振幅为0的谐波频率,3.频带宽度的定义,对于周期矩形信号，一般,或,周期矩形信号的时间特性：f(t)变化快,f(t)变化慢,频率特性：,变化快的信号必然具有较宽的频带,三、周期信号的频谱特点,(1)离散性谱线是离散的而不是连续的，谱线之间 的间隔为 。这种频谱常称为离散频

9、谱。,(2)谐波性谱线在频谱轴上的位置是基频 的整数 倍。,(3)收敛性各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐 减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减 小,3.3 非周期信号的傅里叶变换,一、频谱密度函数 以周期矩形信号为例，当周期 （周期信号变为非周期信号）， （离散频谱变成连续频谱）， 即谱线长度趋于零（无穷小）。,以上两节讨论了周期信号的付里叶级数，并得到周期信号的频谱具有离散性、谐波性、收敛性三个特点，本节把上述傅立叶分析方法推广到非周期信号中，导出非周期信号的傅立叶变换FT。,此时，原分析方法失效，但谱线长度（振幅）虽同为无穷小，但它们的大小并不相同，相对值仍有差别。,为了表明无

10、穷小的振幅间的相对差别，有必要引入 一个新的量称为“频谱密度函数”。,设周期信号,频谱密度函数,从上式可以看出： 非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。 不同的是，由于非周期信号的 于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。 同时，三角函数振幅 ，故用频谱不能直接画出，必须用它的密度函数作出。 最后必须指出，从理论上讲，FT也应满足类似狄氏条件。,讨论：,3.4 常用信号的傅里叶变换,1,t,0,f(t),(a),0,(b),0,(c),f(t),0,t,(a),0,(b),3、矩形单脉冲信号（门函数）,(a) (b) (c),常数频谱1不满足绝对可积条件，反变换求解

11、过程见管致中书P120,物理意义：在时域中变化 异常剧烈的冲激函数包含 幅度相等的所有频率分量。 因此，这种频谱常称为“均 匀谱“或”白色谱“。,-2T-T 0 T 2T 3T t,(a)周期单位冲激序列 (b)付里叶变换频谱,表示在无穷小的频带 范围内（即谐频点） 取得了无限大的频谱 密度值。,例2：,付里叶变换,付里叶级数,例3：,3.5 傅立叶变换的性质,说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。,F,F,频移性质,F,E,Parsevals定理与能量频谱,从能量的角度来考察信号时域和频域特性间的关系,Parsevals定理：周期信号的功率等于该信号在 完备正交函数集中各分量功率之

12、和。,一般非周期信号 属于能量有限信号,Parseval定理：非周期信号在时域中求得的信号 能量等于在频域中求得的信号能量。,LTI系统的全响应零输入响应零状态响应 本节只研究零状态响应。 1.时域分析法,即将 分解为无限个 之叠加。,即零状态响应分解为所有被激励加权的 之叠加。,时域方法缺点：计算复杂。,3.6 连续时间系统的频域分析,2.频域分析法（是变换域分析法的一种）,由时域卷积定理知：,称为系统函数（或传递函数）,此方法称为频域分析法，另外还有复频域分析法、Z域分析法等都是属于变换域分析法。,将任意激励信号分解为无穷多项 信号的叠加（或无穷多项正弦分量的叠加）,将无穷多项 信号分量作

13、用于系统所得的响应取和（叠加）,2,频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础上，与时域分析法不同处在于信号分解的单元函数不同。,总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理。,有始信号通过线性电路的瞬态分析,例1：已知,，求零状态响应 。,解：,例题说明,2,O,t,t,E,O,t,t,O,w,O,w,O,w,1,急速变化处意味着有很高的频率分量,从以上分析可以看出，利用 从频谱改变的观点解释激励与响应波形的差异，物理概念比较清楚，但求傅立叶逆变换的过程比较烦琐，因此，在求解一般非周期信号作用于具体电路的响应时，用 更方便，很少利用

14、。 这节引出 的重要意义在于研究信号传输的基本特性、建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义。,结论,信号分析,付里叶变换应用于通信系统历史悠久、范围宽广。 现代通信系统的发展处处伴随着付里叶变换方法的精心 运用。从本章开始介绍这些应用中最主要的几个方面 调制、滤波、失真、抽样。,3.7 系统无失真传输的条件,由前面举例（例1）知：,失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中,产生了失真。,一.线性系统引起信号失真的原因,1.幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的,衰减，引起幅度失真。,2.相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，,造成各频率分量在时

15、间轴上的相对位置变化，引起 相位失真。,由延时特性知：,在实际应用中，有时需要有意识地利用系统的失真进行波形变换有时希望传输过程中使用信号失真最小。,二.线性系统无失真条件,波形无改变则称为无失真,信号通过系统时谐波的相移比需与其频率成正比。,例：,基波,二次谐波,为了使基波与二次谐波得到相同的延迟时间，以保证不产生,相位失真，应有,为截止频率(Cut off frequency),相移特性是过原点直线,3.8 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应,二、理想低通滤波器的冲激响应,由图知t0时， ，而输 入 在t=0时加入，这是反因果规律的，所以理想低通滤波器是无法实现的。,三、理想低通滤波器的阶

16、跃响应,设理想低通滤波器的阶跃响应为,上式第一项积分,第二项积分是正弦积分函数,它的函数值可从正弦积分函数表中查得，于是可得理想低通滤波器的阶跃响应为,x,1,O,p,(,),x,Si,x,O,式中,称为正弦积分函数,1,t,O,B,A,A点处：,B点处：,查表得：,故可求得：,响应电压的建立时间与通频带成反比。,四、理想低通滤波器的物理可实现条件 给定一个网络数学模型，什么样的可以物理实现，什么样的不行？这是一个网络综合问题。,网络分析：已知网络结构和参数，求系统在一定输入下的响应。 网络综合：在给定网络特性的情况下，确定网络的结构和参数。,1. 物理可实现的时域条件：,这一条件也称为“因果

17、条件”,2. 物理可实现的频域条件：,物理可实现的必要条件是：,其中,满足,这一条件称为佩利维纳准则,例如：理想低通滤波器,违反了佩利维纳准则 ，则系统不可实现。,举例：一个简单的低通滤波器。,分析：,可看出， 与理想低通滤波器有些相似，不同在于,以图示电路为例，设 ， 则网络系统函数：,例题分析,例题分析,与理想低通滤波器有些相似，不同在于,“佩利维纳准则”是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。,3.9 调制与解调,一、为什么要调制？,为了有效传输信号 天线尺寸可实现。 天线尺寸,不同信号在同一信道里传输不产生重叠。 （用多路复用技术解决：在一个信道中传输多路信号。）,调制是实现多路复用的关键技术。,二、调制原理 theory of modulation 。,调制将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围的过程。,待传输的信号，称为调制信号 运载 的高频振荡信号称为载波。 为经调制后的高频信号称为已调波。,应用付里叶变换的性质说明频谱搬迁的原理,分析例中已调波,振幅随调制信号而变，这种调制称为调幅,调制,调幅 调频 调相 脉冲调制（分两步进行）,这些内容在后续课本 中学习如高频电子线 路