立几中的向量方法.ppt

1、9.8 立体几何中的向量方法 要点梳理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 （1）直线的方向向量：在直线上任取一 向 量作为它的方向向量. （2）平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是 平面内两不共线向量，n为平面的法向量， 则求法向量的方程组为,非零,.,基础知识 自主学习,2.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2， 则l1与l2所成的角满足 . (2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别 为m,n，则直线l与平面所成角满足 . (3)求二面角的大小 如图，AB、CD是二面角l的两个面 内与棱l垂直的直线,则二面角的大小= .,|cosm1,m2

2、|,|cosm,n|,cos =,sin =, 如图，n1，n2分别是二面角l的两 个半平面，的法向量，则二面角的大小满足 cos = .,cosn1,n2或-cosn1,n2,3.点面距的求法 如图,设AB为平面的一条斜线段,n为平面的 法向量,则B到平面的距离d= .,基础自测 1.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b= (-6,9,6)，则( ) A.l1l2 B.l1l2 C.l1与l2相交但不垂直 D.以上均不正确 解析 ab=-12+36-24=0，ab， l1l2.,B,2.已知平面内有一个点M（1，-1，2），平面 的一个法向量是n=（6，-3，6），则下列

3、点P中 在平面内的是( ) A.P（2，3，3） B.P（-2，0，1） C.P（-4，4，0） D.P（3，-3，4） 解析 n=（6，-3，6）是平面的法向量， n ，在选项A中， =（1，4，1）， n =0.,A,3.已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0）， n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为( ) A.45 B.135 C.45或135 D.90 解析 即m,n=45，其补角为135. 两平面所成二面角为45或135.,C,4.如图所示，在空间直角坐标系中， 有一棱长为a的正方体ABCO ABCD，AC的中点E 与AB的中点F的距离为( ) A. B. C.a D. 解析

4、 由图易知A（a,0,0）,B（a,a,0）, C（0，a，0），A(a,0,a).,B,5.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1). 若c与a及b都垂直，则m,n的值分别为( ) A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 解析 由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1), 故ac=3m+n+1=0，bc=m+5n-9=0.,A,题型一 利用空间向量证明平行与垂直 如图所示，在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD，ABAD， ACCD,ABC=60,PA=AB=BC, E是PC的中点.证明： (1)AECD; (2)PD平面ABE.

5、,题型分类 深度剖析,（1）,建立空间直角坐标系,确定 的坐标,计算,AECD,（2）,求面ABE的法向量n,判断满足 =kn(kR）,平面ABE,或,确定 坐标,计算,PDAE PDAB,PD平面ABE,证明 AB、AD、AP两两垂直，建立如图 所示的空间直角坐标系，设PA=AB=BC=1， 则P（0，0，1）. (1)ABC=60， ABC为正三角形.,(2)方法一,方法二,证明线面平行和垂直问题，可以用几 何法，也可以用向量法.用向量法的关键在于构造 向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向 量垂直的判定定理.若能建立空间直角坐标系，其 证法较为灵活方便.,知能迁移1 如图所示,平面P

6、AD平面 ABCD，ABCD为正方形，PAD是直 角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分 别是线段PA、PD、CD的中点. 求证：PB平面EFG. 证明 平面PAD平面ABCD且ABCD为正方形, AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、 P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0).,即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1)，,题型二 利用向量求空间角 （2008海南理，18）如图所 示，已知点P在正方体ABCD ABCD的对角线

7、BD上, PDA=60. (1)求DP与CC所成角的大小; (2)求DP与平面AADD所成角的大小. 建立空间直角坐标系，利用空间向 量方法求解.,解 如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立 空间直角坐标系Dxyz. 则 =（1，0，0）， =(0,0,1). 连接BD,BD. 在平面BBDD中, 延长DP交BD于H. 设 =(m,m,1) (m0), 已知 =60,（1）异面直线的夹角与向量的夹角有所 不同，应注意思考它们的区别与联系. （2）直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向 量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化, 所以要注意它们的区别与联系.,知能迁移2 （2009天津理，1

8、9） 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD，ADBCFE，AB AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= . (1)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (2)证明：平面AMD平面CDE; (3)求二面角ACDE的余弦值. (1)解 如图所示，建立空间直 角坐标系，点A为坐标原点，设 AB=1，依题意得B(1,0,0), C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)，,所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.,(2)证明,又AMAD=A，故CE平面AMD.而CE平面 CDE，所以平面AMD平面CDE.,(3)解 设平面CDE的法向量为u=（x,y

9、,z)， 令x=1,可得u=(1,1,1). 又由题设，平面ACD的一个法向量v=(0,0,1). 因为二面角ACDE为锐角，所以其余弦值为,题型三 利用向量求空间距离 （12分）在三棱锥SABC中， ABC是边长为4的正三角形，平面 SAC平面ABC，SA=SC= ，M、 N分别为AB、SB的中点，如图所示. 求点B到平面CMN的距离. 由平面SAC平面ABC,SA=SC,BA= BC,可知本题可以取AC中点O为坐标原点，分别 以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴,z轴建立空 间直角坐标系，用向量法求解.,解 取AC的中点O，连接OS、 OB.SA=SC，AB=BC， ACSO，ACBO.

10、 平面SAC平面ABC， 平面SAC平面ABC=AC， SO平面ABC， SOBO. 4分 如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz， 则B(0,2 ,0),C(-2,0,0),S(0,0,2 ), M（1， ，0），N（0， ， ）. 6分,解题示范,设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量， 点到平面的距离，利用向量法求解比较 简单，它的理论基础仍出于几何法.如本题,事实上，作BH平面CMN于H.,8分,10分,12分,知能迁移3 如图所示，已知两个正四 棱锥PABCD与QABCD的高分别 为1，2，AB=4. （1）证明：PQ面ABCD； （2）求异面直线AQ与PB所成角的余弦值； （3

11、）求点P到面QAD的距离. （1）证明 如图，连结AC，BD，设ACBD=O， PABCD与QABCD都是正四棱锥， PO面ABCD， QO面ABCD， 从而P、O、Q三点在一条直线上. PQ面ABCD.,（2）解 由题设知，ABCD是正方形， ACBD. 由（1）知，PQ面ABCD，故可分别以CA，DB, QP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由条件得 P（0，0，1）,A（2 ，0，0）,Q（0，0，-2）, B（0，2 ，0），,(3)解 由(2)得D(0,-2 ,0)， =（0，0，-3），设n=（x，y，z）是面QAD的 一个法向量，,方法与技巧 1.用向量知识证明立体几何问题有两种

12、基本思路: 一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进 行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量， 共分三步:（1）建立立体图形与空间向量的联 系，用空间向量（或坐标）表示问题中所涉及 的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问 题；（2）通过向量运算，研究点、线、面之间 的位置关系；（3）根据运算结果的几何意义来 解释相关问题.,思想方法 感悟提高,2.若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的 夹角来运算. (1)求两异面直线a、b的夹角，须求出它们的 方向向量a，b的夹角,则cos =|cosa,b|. (2)求直线l与平面所成的角 可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量a 的夹角.则sin

13、=|cosn,a|. (3)求二面角l的大小，可先求出两个 平面的法向量n1,n2所成的角，则 =n1,n2或 -n1,n2. 3.求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开 以该点为端点的平面的斜线段.,失误与防范 1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立 体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证 明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行, 即化归为证明线线平行，用向量方法证直线 ab，只需证明向量a=b（R）即可.若用 直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面 平行，仍需强调直线在平面外. 2.利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为 各空间角.因为向量夹角与各空间角的定义、范 围不

14、同.,一、选择题 1.已知 =（1，5，-2）， =（3，1，z），若 ， =（x-1，y，-3），且BP平面 ABC，则实数x，y，z分别为 ( ) A. B. C. D.,定时检测,解析 即3+5-2z=0， 得z=4， 又BP平面ABC，BPAB，BPBC， =（3，1，4），则,答案 B,2.长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1， E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余 弦值为 ( ) A. B. C. D. 解析 建立坐标系如图. 则A(1,0,0),E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2）.,B,3.在正方体ABCDA1B1C1D

15、1中,M是AB的中点,则 的值等于 ( ) A. B. C. D. 解析 以D为原点,DA、DC、DD1分 别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系，设正方体棱长为1，易知,B,4.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到 平面A1BD的距离是 ( ) A. B. C. D. 解析 如图建立空间直角坐标系， 则D1（0，0，2），A1（2，0，2）， D（0，0，0），B（2，2，0）， =（2，0，0）， =（2，0，2）， =（2，2，0）， 设平面A1BD的法向量n=（x，y，z），,令x=1,则n=(1,-1,-1), 点D1到平面A1BD的距离,答案 D,5.P是二面角

16、AB棱上的一点，分别在、 平面上引射线PM、PN，如果BPM=BPN=45, MPN=60，那么二面角AB的大小为 ( ) A.60 B.70 C.80 D.90 解析 不妨设PM=a，PN=b,如图, 作MEAB于E，NFAB于F， EPM=FPN=45，,答案 D,6.设平面与向量a=(-1,2,-4)垂直，平面与向量 b=(2,3,1)垂直，则平面与的位置关系 是 . 解析 由已知a,b分别是平面，的法向量. ab=-2+6-4=0,ab，.,垂直,二、填空题,7.正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面上的射 影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平 面PAC所成的角是 . 解

17、析 如图所示,以O为原点建立空间直角坐标 系Oxyz. 设OD=SO=OA=OB=OC=a, 则A(a,0,0),B(0,a,0), C(-a,0,0), 设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),直线BC与平面PAC所成的角为90-60=30.,答案 30,8.如图所示，PD垂直于正方形ABCD 所在平面，AB=2，E为PB的中点， 若以DA，DC， DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则点E的坐标为 . 解析 设PD=a，则A（2，0，0）， B（2，2，0），P（0，0，a）， E的坐标为（1，1，1）.,（1,1,1）,三、解答题 9.如图所示，已知正方形AB

18、CD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直,AB= ， AF=1，M是线段EF的中点.求证： (1)AM平面BDE； (2)AM平面BDF. 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系, 设ACBD=N，连接NE. 则点N、E的坐标分别为,M,10.如图所示，边长为2的等边PCD所 在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面， BC=2 ，M为BC的中点. (1)证明：AMPM； (2)求二面角PAMD的大小； (3)求点D到平面AMP的距离. (1)证明 以D点为原点，分别以直 线DA、DC为x轴、y轴，建立如图 所示的空间直角坐标系Dxyz，,依题意，可得 D(0,0,0),P(0,1, ),C(0,2,0),A(2 ,0,0)， M( ,2,0). =( ,2,0)-(0,1, )=( ,1,- )， =( ,2,0)-(2 ,0,0)=(- ,2,0)， =( ,1,- )(- ,2,0)=0， 即 AMPM. （2）解 设n=(x,y,z)，且n平面PAM，则,取p=(0,0,1),显然p平面ABCD，,结合图形可知，二面角PAMD为45. （3）解 设点D到平面PAM的距离为d，,11.如图所示，在棱长为2的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为 A1D1和CC1的中点. (1)求证：EF平面ACD1