计算机图形学 (9).ppt

1、2020/8/10,湖北大学 数计学院,1,第七章 图 形 变 换,余敦辉 湖北大学 数计学院,2020/8/10,湖北大学 数计学院,2,7.4 投影变换7.4.1 基本概念,投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形。 分类： 平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴测图。 观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变换。,2020/8/10,湖北大学 数计学院,3,7.4 投影变换7.4.1 基本概念,投影中心与投影平面之间的距离为无限,投影中心与投影平面之间的距离为有限,根据投影方向与投影平面的夹角,根据投影平面

2、与坐标轴的夹角,2020/8/10,湖北大学 数计学院,4,7.4 投影变换7.4.1 基本概念,一、平面几何投影 投影中心、投影面、投影线：,2020/8/10,湖北大学 数计学院,5,7.4 投影变换7.4.1 基本概念,平面几何投影可分为两大类： 透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的 平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的,2020/8/10,湖北大学 数计学院,6,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,平行投影可分成两类：正投影和斜投影。,2020/8/10,湖北大学 数计学院,7,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,一、正投影 正投影又可分为：三视图和正轴测。 当投影

3、面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图；否则，得到的投影为正轴测图。,2020/8/10,湖北大学 数计学院,8,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,三视图：正视图、侧视图和俯视图,2020/8/10,湖北大学 数计学院,9,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,把三维空间的图形在三个方向上所看到的棱线分别投影到三个坐标面上。再经过适当变换放置到同一平面上。,2020/8/10,湖北大学 数计学院,10,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,1、正平行投影（三视图） 工程制图中常用到的三视图，是由空间一物体向三个互相垂直的投影面作正投影得到的。这三个投影面分别称为：正投影面V（ZOX)，侧

4、投影面W（YOZ），水平投影面H（XOY）。,V,O,U,Z,X,Y,Y,2020/8/10,湖北大学 数计学院,11,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,正投影视图 正投影是将立体向V面投影得到的，投影结果为： x = x; y=0; z=z 为将点(x y z) 变换为(x y z)，只需将点(x y z)作 如下变换即可：,三视图,2020/8/10,湖北大学 数计学院,12,7.4 投影变换7.4.2 平行投影, 将该投影向左角移动dx=tx,dy=ty; 将x轴反向与U轴保持一致； 将坐标原点平移到点O。,三视图,2020/8/10,湖北大学 数计学院,13,7.4 投影变换7.4

5、.2 平行投影,俯投影视图 1）将立体向H面作正投影，此时Z坐标取0;,三视图,2020/8/10,湖北大学 数计学院,14,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,2）使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同一平面； 3）最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致； 5）将坐标原点平移至点O,2020/8/10,湖北大学 数计学院,15,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,侧投影视图 先将立体向W面作正投影（X坐标取为0）；,2020/8/10,湖北大学 数计学院,16,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,2）使水平投影面绕Z轴旋转

6、90，使与正投影面处于同一平面； 3）最后让图形沿Z轴平移dx=ty , dy=tz; 4）将坐标原点平移至点O,2020/8/10,湖北大学 数计学院,17,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,1、正轴测图: 当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴时，产生的正投影称为正轴测投影。 正轴测投影分类： 正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿三个轴线具有相同的变形系数。,2020/8/10,湖北大学 数计学院,18,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿两个轴线具有相同的变形系数。,2020/8/10,湖

7、北大学 数计学院,19,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,正三测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都不相等。沿三个轴线具有各不相同的变形系数。,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,问题转换：1、投影矢量OF旋转变换到Z轴上（即将投影平面旋转变换到XOY平面上）； 2、针对XOY平面作投影变换。,先绕y轴顺时针旋转角 再绕x轴逆时针旋转角,2、正轴测图的投影变换矩阵,2020/8/10,湖北大学 数计学院,21,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,公式推导： (1) 先绕y轴顺时针旋转角 (2) 再绕x轴逆时针旋转角 (3) 将三维形体向xoy平面作正投影 最后得到正轴测图的投

8、影变换矩阵,2020/8/10,湖北大学 数计学院,22,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,3、 正等测图(等轴测),分析：对于正等测图OA=OB=OC,3、 正等测图(等轴测),分析：对于正等测图OA=OB=OC,因此，= 45O,cos=OB/BD Sin=OD/BD OD= OB BD= OB,公式推导： 将和的值代入正轴测图的变换矩阵得到正等测图的投影变换矩阵：,4. 正二测图,分析：对于正二测图OA、OB、OC有两个相等，但与另一个不等,4. 正二测图,分析：对于正二测图OA、OB、OC有两个相等，但与另一个不等 现在假定OA=OC则，,计算： = 45O = ？,公式推导： 将

9、值代入T得到正二测图的投影变换矩阵：,2020/8/10,湖北大学 数计学院,28,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,一、斜投影 斜投影图，即斜轴测图，是将三维形体向一个单一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面图形。（通常选择投影面平行于某个主轴） 常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。,2020/8/10,湖北大学 数计学院,29,7.4 投影变换7.4.2 平行投影,斜等测投影 投影平面与一坐标轴垂直 投影线与投影平面成45角 与投影平面垂直的线投影后长度不变 斜二测投影 投影平面与一坐标轴垂直 投影线与该轴夹角成 arcctg(1/2)角 该轴轴向变形系数为 。即与

10、投影平面垂直的线投影后长度变为原来的一半。,2020/8/10,湖北大学 数计学院,30,7.4 投影变换7.4.2 平行投影, = ARCTG(2) OP = OP, = ARCTG(1) OP = 2OP,2020/8/10,湖北大学 数计学院,31,7.4 投影变换7.4.2 平行投影斜平行投影求法,1 已知投影方向矢量为（xp,yp,zp） 设形体被投影到XOY平面上 形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后(xs,ys) 投影方向矢量为(xp,yp,zp) 投影线的参数方程为：,2020/8/10,湖北大学 数计学院,32,7.4 投影变换7.4.2 平行投影斜平行投影求法,因

11、为 所以 若令,2020/8/10,湖北大学 数计学院,33,7.4 投影变换7.4.2 平行投影斜平行投影求法,则矩阵式为：,2020/8/10,湖北大学 数计学院,34,7.4 投影变换7.4.2 平行投影斜平行投影求法,2设（xe,ye,ze）为任一点，（xs,ys）为（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影 设立方体上一点 P(0,0,1)在XcOcYc平面上的投影P (lcos,lsin,0),投影方向为PP,PP与投影面的夹角为, 为投影与x轴的夹角，则投影方向矢量为(lcos,lsin,-1),2020/8/10,湖北大学 数计学院,35,7.4 投影变换7.4.2 平行投

12、影斜平行投影求法,现考虑任一点（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影（xs,ys） 投影方向与投影线PP平行 所以,2020/8/10,湖北大学 数计学院,36,7.4 投影变换7.4.2 平行投影斜平行投影求法,矩阵形式为：,斜等侧中：l=1,=45 斜二侧中：l=1/2, =arctg=63.4 正平行投影：l=0, =90,2020/8/10,湖北大学 数计学院,37,7.4 投影变换7.4.3 透视投影透视的基本知识,透视投影是一种中心投影法，在日常生活中，我们观察外界的景物时，常会看到一些明显的透视现象。 如：我们站在笔直的大街上，向远处看去，会感到街上具有相同高度的路灯柱子

13、，显得近处的高，远处的矮，越远越矮。这些路灯柱子，即使它们之间的距离相等，但是视觉产生的效果则是近处的间隔显得大，远处的间隔显得小，越远越密。观察道路的宽度，也会感到越远越窄，最后汇聚于一点。这些现象，称之为透视现象。 产生透视的原因，可用下图来说明：,2020/8/10,湖北大学 数计学院,38,7.4 投影变换7.4.3 透视投影透视的基本知识,图中，AA,BB,CC为一组高度和间隔都相等，排成一条直线的电线杆，从视点E去看，发现 AEABEBCEC 若在视点E与物体间设置一个透明的画面P,让P通过AA，则在画面上看到的各电线杆的投影aabbcc aa即EA,EA与画面P的交点的连线; b

14、b即为EB，EB与画面P的交点的连线。 cc 即为EC，EC与画面P的交点的连线。 近大远小,2020/8/10,湖北大学 数计学院,39,7.4 投影变换7.4.3 透视投影透视的基本知识,若连a,b,c及a,b,c各点，它们的连线汇聚于一点。 然而，实际上，A,B,C与A，B，C的连线是两条互相平行的直线，这说明空间不平行于画面(投影面）的一切平行线的透视投影，即a,b,c与a,b,c的连线，必交于一点，这点我们称之为灭点。,2020/8/10,湖北大学 数计学院,40,7.4 投影变换7.4.3 透视投影灭点,不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing

15、 Point)。 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。,2020/8/10,湖北大学 数计学院,41,7.4 投影变换7.4.3 透视投影透视举例,一、 简单的一点透视投影变换,P0 ：视点 S平面：投影面，屏幕画面 点Qw的透视：P0Qw与平面S的交点,当投影面与某轴垂直时为一点透视；当投影面平行于某坐标轴，但与另外两轴不垂直时为二点透视；否则为三点透视,Qw (Xw, Yw, Zw)

16、Qs (Xs, Ys),简单的一点透视投影变换(续),讨论：,利用几何关系可得：,若令用户坐标系(屏幕坐标)的原点在O，则 Z1 0，上式可简化为：,讨论(续)：,(2) 上述变换可写为,回忆前面对齐次坐标变换矩阵的讨论，知若 g -1/ Z2，则主灭点在 Z 轴上 Z 1/g 处，此时，与 X, Y 轴平行的线段经透视投影后仍平行于 Xs , Ys 轴,讨论(续)：,(3) 类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：,二、 两点透视投影变换,在三维变换矩阵第4列的31子阵中，如果有两个非零元素，即得到二点透视。设一个主灭点在 X 轴上 x1 / r 处，另一个主灭点在Z轴的

17、z 1/g 处，画面为 xoy 。则透视的投影变换矩阵为：,其中 T2 为物体绕 Y 轴旋转的矩阵，它使Y轴平行于屏幕画面，并使画面与原坐标面成 q 角,例：有一个单位立方体 MCB，其顶点为A, B, C, D, E, F, G, H, (如图示)。选 r =-0.25，g =-0.15，q =-30o, 试作投影变换。,讨论： 可用投影平面的方向控制主灭点的数目 投影中主灭点的数目由与观察平面相交的主轴的数目决定,X,Y,四、 三点透视投影变换,透视的投影变换矩阵为：,其中 T2、 T3 为物体分别绕 Y 轴旋转 q 角，然后绕 X 轴转 j 角的矩阵,例：同上例，有一个单位立方体 MCB

18、，其顶点为A, B, C, D, E, F, G, H, (如图示)。选 r =-0.25，y =-0.2, g=-0.15，q = j =-30o, 试作投影变换。,讨论： 观察方向与投影方向的配合,X,Y,五、 观察坐标系下的透视投影变换,观察坐标系:,设视点在用户坐标系中下的坐标为(a, b, c), 可以分5步求 V 阵：,(1) 将用户坐标系的原点移到视点，得到新坐标系下各点的坐标( x, y, z )，相当于形体上的点反向移动,(2) 令平移后的新坐标系绕 X 逆时针转 90o，相当于形体上的点顺时针转 90o,(3) 将新坐标系绕 Y 顺时针转 q 角，使 Z 轴负方向与 Zw

19、轴相交，相当于形体上的点逆转 q 角,(4) 再将新坐标系绕 X 顺时针转 j 角，使 Z 负方向指向用户坐标系原点， 相当于形体上的点逆转 j 角,j,u,(5) 将Z轴反向，右手坐标系变成左手坐标系,j,u,综合上述变换，得：,讨论：,(1) 在实际操作中，一般先求出形体外接球，并将用户坐标系的原点移到外接球的球心位置，以便视点沿球面移动时，保证看到的形体的不同位置均有均衡的比例,(2) 一般可取投影面通过用户坐标系原点，此时变换矩阵为,讨论 (续)： 例：同上例，有一个单位立方体 MCB，其顶点为A, B, C, D, E, F, G, H, (如图示)。选观察点分别为 (5，0，5)，

20、(5，4，5)，(5，9，5)， 投影面通过坐标原点，试作投影变换。,(3) 透视投影中的裁剪和观察体,2020/8/10,湖北大学 数计学院,59,7.4 投影变换7.4.3 透视投影透视投影的技巧,一点透视图的生成 在生成一点透视图时，为了避免将物体安置在坐标系原点，而产生下图所示的透视效果，通常在透视变换前，先将立体作一平移变换。,2020/8/10,湖北大学 数计学院,60,7.4 投影变换7.4.3 透视投影透视投影的技巧,其变换过程如下： 1）先作平移变换； 2）再作透视变换； 3）最后将结果投影到投影面。 由于往XOZ平面上投影，故一点透视变换的灭点选在Y轴上。以下是其变换公式。,2020/8/10,湖北大学 数计学院,61,7.4 投影变换7.4.3 透视投影透视投影的技巧,2020/8/10,湖北大学 数计学院,62,7.4 投影变换7.4.3 透视投影透视投影的技巧,二点透视投影图的生成 当立体经透视变换后，若直接投影到V面上，可能其立体效果并不理想，所以，在透视变换后，对变换结果绕Z轴旋转后，以使物体轴线不与投影面垂直，再向V面上投影其效果会更好。 变换过程如下： 1）