对数与对数的运算.ppt

1、对数与对数运算,问题1,实例1：截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？到哪一年我国的人口数将达到18亿？,13 (11)x18，求x=?,假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经 过多少年国民生产总值是2002年的2倍？,问题2,如何列方程？,如何求出x的值?,即,这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式 中，已知a 和N.求b的问题。（这里 a0且a1 ）,一般地，如果a(a0, 且a1)的b次幂 等于N，就是abN ，那么数b叫做以a为底 N的对数，记作logaNb

2、.其中a叫底数, N叫真数.即,定义：,叫做指数式 ,叫做对数式.,当,时，,底,底,指数,对数,幂,真数,常用的两种对数：,我们通常将以10为底的对数叫做常用对数. 为了简便，N的常用对数log10N,简记作lgN.,1、 常用对数：,在科学技术中使用以无理数e=2.71828 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数. 为了简便，N的自然对数logeN,简记作lnN,2、 自然对数：,1、将下列指数式转化为对数式：,探究活动,log31=,0,log81=,0,0,log0.51=,0,log2.91=,你发现了什么?,“1”的对数等于零,即loga1=o,(1) 30=1,(2)80=1,(

3、3)0.50=1,(4)2.90=1,对数的性质,2、求下列各式的值：,(1) log22=,1,(2) log1616=,1,1,(3) log0.50.5=,1,(4) log99=,你发现了什么?,底数的对数等于“1”,即logaa=1,探究活动二：,（1）负数与零没有对数,（2）,（3）,（4）对数恒等式：,2.几个常用的结论 ：,axN logaNx.,注意： 底数a的取值范围,真数N的取值范围,(0, 1)(1, )；,(0, ).,例1:将下列指数式写成对数式:,解：,例2:将下列对数式写成指数式:,解：,求下列各式的值,练习,（1）,（4）,（3）,（2）,（5）,（6）,例3

4、:求下列各式中的x的值:,解:(1),(2),求底数,求真数,解:(3),例3:求下列各式中的x的值:,求对数,(4),求对数,请同学们结合本节课的学习，说出你有什么收获？,1对数的定义,2掌握指数式与对数式的互化,一般地,如果a(a0,a1)的 x 次幂等于N, 即ax=N, 那么数x叫做以a为底N的对数, 记作 logaN=x (式中的a叫做对数的底数,N叫做真数).,3会由指数运算求简单的对数值,(a0,a1),思考:指数的运算法则有几个?分别是什么?,你能类似地得出下列公式吗？,证明：设,由对数的定义可以得：,即证得,证明：设,由对数的定义可以得：,即证得,1积、商、幂的对数运算法则：

5、,如果a0，且a1，M0，N0有：,“积的对数对数的和”, 有时逆向运用公式：, 真数的取值范围必须是 (0, )., 对公式容易错误记忆，要特别注意：,如：,例1,解（1）,解（2）,用,表示下列各式：,例2、计算（1）,(2),(5),19,2,1,0,（1）,练习计算：,解法一：,解法二：,（2）,计算：,解：,3.对数换底公式,( a 0 ,a 1 ，c 0 ,c 1,N0),如何证明呢?,证法1:,两边取以c为底的对数即得:,证法2:,两边取以c为底的对数即得:,2. 换底公式的推论,1. 对数换底公式：,证明：设,由对数的定义可以得：,即证得,换底公式,其他重要公式1:,证明:由换

6、底公式,取以b为底的对数得：,还可以变形,得,解:,练习2.利用对数的换底公式化简下列各式,其他重要公式2:,证明：设,由对数的定义可以得：,即证得,练习,（1）,（4）,（3）,（2）,1.求下列各式的值：,2. 用lg，lg，lg表示下列各式：,练习,（1）,（4）,（3）,（2）,例题与练习,例1、计算：,1),15,练习：1求值：,2若 ,求m,3若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 用p,q表示 lg 5,注意：,注意：,真数大于0,计算:,3.已知a,b,c是ABC的三边,且关于x的方 程 有等根,判断ABC的形状.,小结 :,积、商、幂的对数运算法则：,如果

7、a 0，a 1，M 0， N 0 有：,其他重要公式:,例3 20世纪30年代，克里特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为: M=lgA-lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅 （使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）。 （1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）。,例3 20世纪30年代，克里特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA-lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）。 （2）5级地震