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海南省 海南 枫叶 国际 学校 2020 年高 数学 上学 期期 试题 通用

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海南省海南枫叶国际学校2020学年高二数学上学期期中试题 时间：120分钟 满分;150分 （考试范围：必修2第二章 ，选修2-1第二章2.2，第三章3.1.5,3.2） 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 下列说法中正确的是( ) A. 经过两条平行直线,有且只有一个平面 B. 如果两条直线平行于同一个平面,那么这两条直线平行 C. 三点确定唯一一个平面 D. 如果一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等,则这两个平面 相互平行 2.如图所示，用符号语言可表达为（　　） A. α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂n B. α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n C. α∩β=m，n⊂α，m∩n=A D. α∩β=m，n∈α，m∩n=A 3. 是不同的直线,是不同的平面,以下结论成立的个数是（　　） ① ② ③④ A. 1 B. 2　 C. 3　 D. 4 4.设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若m⊂α，n⊂α， m∥β，n∥β，则α∥β； ③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④m⊂α，n⊂α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α； 其中真命题的序号是（　　） A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ②④ 5.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面而且垂直 D. 异面但不垂直 6.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7.若的三个顶点的坐标分别为,则的形状是（ ） A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 8.已知空间向量，若与垂直，则等于（　　） A. B. C. D. 9.已知向量，分别是直线的方向向量，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10.若椭圆C：的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 11.若曲线表示椭圆,则k的取值范围是 ()． A. B. C. D. 或 12.椭圆中，过点的直线与椭圆相交于两点，且弦被点平分，则直线的方程为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分） 16.已知点P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2＝120，且|PF1|＝3|PF2|，则椭圆的离心率为___________． 三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分） 17.求适合下列条件的椭圆标准方程： （1）与椭圆有相同的焦点，且经过点 （2）经过两点 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：EF⊥平面PDC． 19.如图：在三棱锥P-ABC中，PB⊥面ABC，△ABC是直角三角形，∠B=90，AB=BC=2，∠PAB=45，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点． （1）求证：EF⊥PD； （2）求二面角E-PF-B的正切值． 20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B-PD-A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 21.如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B=90，BE∥CD，且BE=2CD=2BC=2，A为BE的中点．将△EDA沿AD折到△PDA位置（如图2），连结PC，PB构成一个四棱锥P-ABCD． （Ⅰ）求证AD⊥PB； （Ⅱ）若PA⊥平面ABCD． ①求二面角B-PC-D的大小； ②在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为45，求λ的值． 22.已知椭圆C：的离心率为,椭圆C的长轴长为4． 求椭圆C的方程； 已知直线l：与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由． 海南枫叶国际学校2020学年度第一学期 高二年级数学学科期中考试试卷答案 一．选择题 1-6.ACACDD 7-12.ABDCDB 二．填空题 13.-45 14. 15. 16. 三．解答题 17.解：（1）椭圆的焦点坐标为（，0）， ∵椭圆过点， ∴=+=4， ∴a=2，b=， ∴椭圆的标准方程为； （2）设所求的椭圆方程为，m＞0，n＞0，m≠n． 把两点代入， 得：，解得m=8，n=1， ∴椭圆方程为． 18.证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点， 在△CPA中，EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊊平面PAD， ∴EF∥平面PAD （Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， 又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD， ∴CD⊥PA 又PA=PD=AD， 所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD 而CD∩PD=D， ∴PA⊥平面PDC， 又EF∥PA， ​所以EF⊥平面PDC. 19. 连接BD、在△ABC中，∠B=90． ∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC． 又∵PB⊥面ABC，即BD为PD在平面ABC内的射影， ∴PD⊥AC． ∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC， ∴EF⊥PD． （2）（仅供参考，建议建系做）过点B作BM⊥PF于点M，连接EM，∵AB⊥PB，AB⊥BC， ∴AB⊥平面PBC，即BM为EM在平面PBC内的射影， ∴EM⊥PF，∴∠EMB为二面角E-PF-B的平面角． ∵Rt△PBF中，，∴． 20.（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则， 即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（-2，0，0），P（0，0， ），C（2，4，0），B（-2，4，0），M（-1，2，）， ，． 设平面PBD的一个法向量为， 则由，得，取z=，得． 取平面PAD的一个法向量为． ∴cos＜＞==． ∴二面角B-PD-A的大小为60； （3）解：，平面BDP的一个法向量为． ∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=|| =||=． 21.证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB∥CD，AB=CD， ∴ABCD为平行四边形，∴AD∥BC， ∵∠B=90，∴AD⊥BE， 当△EDA沿AD折起时，AD⊥AB，AD⊥AE，即AD⊥AB，AD⊥PA， 又AB∩PA=A，AB、PA平面PAB， ∴AD⊥平面PAB， 又∵PB⊂平面PAB， ∴AD⊥PB． （Ⅱ）①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ​ 则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）, P（0，0，1）， =（1，1，-1），=（0，1，0），=（1，0，0）， 设平面PBC的法向量为=（x，y，z）， 则，取z=1，得=（1，0，1）， 设平面PCD的法向量=（a，b，c）， 则，取b=1，得=（0，1，1）， 设二面角B-PC-D的大小为θ， 则cosθ=-=-=-，∴θ=120． ∴二面角B-PC-D的大小为120． ②设AM与面PBC所成角为α， =（0，0，1）+λ（1，1，-1）=（λ，λ，1-λ）， 平面PBC的法向量=（1，0，1）， ∵直线AM与平面PBC所成的角为45， ∴sinα=|cos＜＞|===， 解得λ=0或． 22.解：（1）设椭圆的半焦距为c，则由题设，得：， 解得， 所以b2=a2-c2=4-3=1， 故所求椭圆C的方程为+x2=1. （2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O． 理由如下： 设点A（x1，y1），B（x2，y2）， 将直线l的方程y=kx+代入+x2=1， 并整理，得．（*） 则x1+x2=， x1x2=． 因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O， 所以•=0，即x1x2+y1y2=0． 又， 于是+3=0，解得k=， 经检验知：此时（*）式的＞0，符合题意． 所以当k=时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

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