计算机控制系统的数学描述4状态方程

1、3.5 离散状态方程,线性离散控制系统最一般的状态方程和输出方程可表示为 （3.56） （3.57）,其中 为 维状态向量； 为 维状态矩阵； 为 维输入矩阵； 为 维输出矩阵； 为 维直接传递矩阵。对多输入多输出系统， 为 维输入向量； 为 维输出向量。对单输入单输出系统， 和 都是标量即 。,（3.56）式和（3.57）式所描述的线性离散控制系统的方块图，如图3.17所示。,图3.17 线性离散控制系统,如果线性离散系统是定常的，这样方程式（3.56）和(3.57)可改写为 （3.58） （3.59） 其中 均为常系矩阵。,1单输入单输出线性离散系统的状态方程表达式,单输入单输出线性离散系

2、统可用下述差分方程表示 （3.60） 上式中某几个系数 和 可以为零。,方程式（3.60）可以写成脉冲传递函数形式，例如 （3.61） （3.62）,由（3.60）式所示的差分方程和（3.61）式、（3.62）式所示的脉冲传递函数可以转化为离散状态方程，常用的有3种方法，即直接程序法，嵌套程序法和部分分式展开程序法。分别介绍如下。,（1）直接程序法,有关直接程序法状态方程式推导，在讲义中有详细的说明，为了便于记忆，现在从另一角度来描述直接程序法状态方程式。,并由导推得， (3.72） (3.73） 其中， 就是Z传递函数表示式中的系数。,从上述方程式，可直接写出状态方程式为,由（3.74）和（

3、3.75）式表示的状态方程表达式，通常称为可控规范型。,2嵌套程序法,嵌套程序法状态方程式，在讲义上也有详细的推导，现在利用可控性与可观性的对偶关系，直接写出可观型状态方程式。其变换原则为： 1)将输入矩阵H与输出矩阵C交换，并将矩阵转置； 2)将状态矩阵G转置。,根据上述原则，可以从可控规范型状态方程直接写出可观规范型状态方程表达式。,由（3.82）和（3.83）表示的状态方程表达式，称为可观规范型。,（3.82）,（3.83）,（3）部分分式展开程序法,当脉冲传递函数的分母可以因式分解时，可采用部分分式展开程序法。将（3.62）式改写为 （3.84） 首先考虑所有的极点 p 没有重极点的条

4、件下，然后再考虑有重极点的条件下。,将方程式（3.85）改写为 (3.86),（a） 中不包含重极点,当 中不包含重极点时，方程式（3.84）可展开为下述部分分式 （3.85） 其中,取下述状态变量,将（3.87）式代入（3.86）式，得 (3.89),将方程式（3.90）和(3.91)写成规范形式，得,方程式（3.92）中的 维状态转移矩阵是一个对角矩阵。各对角线上的元素是 的极点。,（b） 中包含多重极点,假定 中包含m个多重极点 ，其余极点为单极点，这时方程式（3.43）可写为,(3.95),再取下述 个状态变量,（3.97）,将方程式（3.98）和(3.97)以及方程式（3.96）中的

5、最后一个方程写成差分方程形式，得,将（3.96）式和（3.97）式代入(3.95)式，得,将上式写成差分方程式形式，得 (3.100),3.6 连续状态方程的离散化,1线性定常连续状态方程的离散化 设线性定常连续状态方程和输出方程为 (3.110) （3.111）,在进行离散化处理时，可以假想输入变量 是经过采样开关和零阶保持电路。这样输入变量 只在采样瞬时， 时变化，而在两个采样瞬时之间保持常值，即 （3.109） 下面将导出在 时，离散状态方程和输出方程。,方程式（3-110）的离散表达式可取下述形式 （3.112） 其中 矩阵和 与采样周期有关，一旦采样周期 选定后， 和 就成为常系数矩

6、阵。,为了求取 和 ，可以利用方程式（3.110）的解，即 （3.113） 根据（3.109）式的关系，并令 和 ，得 （3.114） 和 （3.115）,从方程式（3.114）中减去乘上 的方程式（3.115），可得 （3.116）,将(3.109)式代入（3.116）式中，并考虑到在一个采样周期内 是保持不变的，故对（3.116）式中的积分上下限可作如下的改变。 （3.117）,其中 。比较（3.117）式与（3.112）式，得 （3.118） (3.119),参照（3.111）式，输出方程式为 (3.120) 其中矩阵 C 和 D 为常系数矩阵。,如果矩阵 A 是非奇异的，（3.119）

7、式可简化为 （3.121）,方程式（3.118）和（3.121）中的矩阵指数 在分析线性状态方程中有很重要的作用。下面对它的求解方法以及某些性质作必要的说明。,当矩阵 A 为常系数矩阵时， 可表示为 （3.122）,称 为矩阵指数。矩阵指数对所有有限时间 t是绝对收敛的。因此（3.122）式所示的级数可逐项进行微分，这样可得 （3.123）,矩阵指数还有以下几个性质，即 (3.124) （当AB=BA时） （3.125） （当AB BA时） （3.126） 可以根据实际需要，选取（3.122）式的前面有限项，就可求得矩阵指数 。,例3.12 求下述连续状态方程的离散状态方程,解：利用（3.12

8、2）式和(3.119)式，得,因此，可得离散状态方程和输出方程为,求解矩阵指数的另一种方法是拉普拉斯变换法。,因为 所以 (3.127),所以 ,将 代入上式，得,3.7 离散状态方程的求解,1、线性定常离散状态方程的求解 （1）递推求解方法 考虑下述离散状态方程和输出方程 （3.135） （3.136） 对任意 ，方程式（3.136）的解可直接用递推法求得,重复上述的计算，可得 （3.137）,即,显然 ，有两部分组成，一部分表示初始状态的组合，另一部分表示输入 的组合，将方程式（3.137）代入(3.136)式中，可得输出方程为 (3.138),（2) 状态转移矩阵 由方程式(3.137)

9、可以看出， 表示方程式(3.135)所描述系统的初始状态的转移，因此 （3.139） 称为状态转移矩阵。它是满足 （3.140） 的唯一的矩阵。,利用状态转移矩阵 ，可将方程式（3.137）写成 （3.141）,将（3.141）式代入（3.136）式，可得输出方程为 （3.142）,（3）Z变换求解方法 对方程（3.135）等号两边进行Z变换，得 那么 上式的等号两边乘上 可得 （3.143）,对方程式（3.137）的等号两边进行z反变换，得 （3.144）,比较方程式（3.144）和（3.137），可得 （3.145） 以及 （3.146） 其中,在用Z变换方法求解离散状态方程时，需要对矩阵

10、 求逆, 的求逆可以用分析方法，也可用计算机程序进行计算。,（4） 的计算方法 下述方法是基于伴随矩阵 的展开。因为 的逆阵可以写成伴随矩阵 除以 的行列式，即 （3.147）,因为 行列式可写成为 （3.148）,可以证明，伴随矩阵 可写成 （3.149）,方程式（3.148）中的系数 可以利用下述矩阵的迹来计算，即 （矩阵的迹是该 矩阵的对角元素之和）。,对高阶的行列式 展开式（3.148）式所示的形式是十分麻烦的。但是方程式（3.150）提供了方便的计算方法。因为 ，交替地有次序的计算，非常适合用计算机程序来求解。,（3.151）,例 3.9 求解下述离散系统 其中,假设 时，求状态 和输出 以及状态转移矩阵 。已知初始条件为,解： 由方程式（3.139）和（3.145）可知，状态转移矩阵为 先求 ，即,所以，状态转移矩阵为,由方程式（3.143）可得