2018_2019学年高中数学第二章概率2.5离散型随机变量的均值与方差2.5.2离散型随机变量的方差课件选修.pptx

1、第2课时离散型随机变量的方差,1.理解取有限值的离散型随机变量的方差的概念和意义. 2.能计算简单离散型随机变量的方差,并解决一些实际问题. 3.掌握二项分布的方差公式,并会用公式求方差.,1,2,1.方差:一般地,设X是一个离散型随机变量,我们用E(X-EX)2来衡量X与EX的平均偏离程度,E(X-EX)2是(X-EX)2的期望,并称之为随机变量X的方差,记为DX.设离散型随机变量X的分布列为 方差越小,则随机变量的取值就越集中在其均值周围;反之,方差越大,则随机变量的取值就越分散.,1,2,【做一做1-1】 投掷两枚均匀的硬币,记正面朝上的硬币个数为X,则EX为,DX为.,1,2,1,2,

2、2.二项分布的方差 若随机变量XB(n,p),则DX=np(1-p). 【做一做2】 连续掷一枚骰子10次,记X为出现6点的次数,则DX=.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 袋中有大小相同的小球6个,其中红球2个、黄球4个,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分.从袋中任取3个小球,记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方差. 分析:根据方差的定义,先求分布列,再求均值,最后求方差. 解:由题意可知,X的所有可能的取值为5,4,3.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思求离散型随机变量的方差的步骤: (1)理解的意义,写出可能取的全部值. (2)求取各个值的概率,写

3、出分布列. (3)根据分布列,由均值的定义求出E. (4)根据方差的定义求出D.若B(n,p),则不必写出分布列,直接用公式计算即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】 将300粒种子分种在100个坑内,每坑放3粒,每粒种子发芽的概率为0.5,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种,若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次,求需要补种坑数的方差. 分析:先求每个坑需要补种的概率,100个坑相当于重复了100次试验,所以需补种的坑数X服从二项分布,用二项分布的方差公式求解.,题型一,题型二

4、,题型三,题型四,反思解此类问题,首先要确定正确的离散型随机变量,然后确定它是否服从特殊分布,若其服从二项分布,则其方差为np(1-p)(其中p为成功概率).,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN+)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:,题型一,题型二,题型三,题型四,以100天记录的各需求量的频率作为

5、各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、均值及方差;若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.,解:(1)当n16时,y=16(10-5)=80. 当n15时,y=5n-5(16-n)=10n-80.,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)X可取60,70,80, P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X的分布列为,EX=600.1+700.2+800.7=76. DX=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44. 解法一:花店一天应

6、购进16枝玫瑰花.理由如下:当一天购进17枝时,当天的利润Y的分布列为,题型一,题型二,题型三,题型四,Y的数学期望EY=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4. Y的方差DY=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+(85-76.4)20.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,DXDY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然EXEY,但两者相差不大,故花店一天应购进16枝玫瑰花. 解法二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:因为EY=76.4EX,即购进17枝玫瑰花的平均利润大于购进16枝的平均利润,

7、故花店一天应购进17枝玫瑰花.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,因此在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高,然后再计算方差,分析一下谁发挥得相对稳定,当然不同的模型要求不同,应视情况而定.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为X,Y,X和Y的分布列如下:,试对这两名工人的技术水平进行比较. 分析:对这两名工人的技术水平进行比较:一是比较两名工人在加工零件数相等的条件下生产出次品

8、数的均值;二是看次品数的波动情况,即方差的大小.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点机械地套用均值与方差的计算公式 【例4】 设X是一个随机变量,其分布列如下表,试求EX,DX.,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析:错解中未运用分布列的性质求出q的值,而是机械地套用均值与方差的计算公式.应该先运用随机变量的分布列的性质求出分布列中的待定常数,再求其均值和方差.,题型一,题型二,题型三,题型四,1,2,3,4,5,1.设随机变量X的方差DX=1,则D(2X+1)的值为 () A.2B.3 C.4D.5 解析:D(2X+1)=4DX=4. 答案:C,1,2

9、,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.有两台自动包装机甲与乙,包装质量分别为随机变量X,Y,已知EX=EY,DXDY,则自动包装机的质量较好. 答案:乙,1,2,3,4,5,5甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度发现违反野生动物保护条例的事件次数的分布列分别为 甲: 乙: 试评定这两个保护区的管理水平.,1,2,3,4,5,解甲保护区违规次数的均值和方差为E=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3, D=(0-1.3)20.3+(1-1.3)20.3+(2-1.3)20.2+(3-1.3)20.2=1.21. 乙保护区违规次数的均值和方差为