3.3.2极大值与极小值

1、开胃果（问题情境）,观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点,函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大,一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f (x0),我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值,记作 y极大值= f (x0)；如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f (x0)，我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f (x0). 极大值与极小值同称为极值.,函数极值的定义,数学建构,（1）极值是某一点附近的

2、小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； （3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.,学生活动,观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x) 0,数学建构,请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？,左正右负为极大，右正左负为极小,函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正

3、,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值,D,学生活动,小试牛刀篇(数学运用),小吃篇,求下列函数的极值,渐入佳境篇,探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?,若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?,f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.,f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点,x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0,注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,请思考求可导函数的极值

4、的步骤:,一览众山小,强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f(x0)=0左右侧导数的符号.,案例分析,函数 在 时有极值10，则a，b的值为（ ）(选自高中数学中学教材全解薛金星主编） A、 或 B、 或 C、 D、 以上都不对,C,，,注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,注意代入检验,变式训练,函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为 。,注意：导数与方程、不等式的结合应用,庖丁解牛篇(感受高考）,A,注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别,.,庖丁解牛篇(感受高考）,略解：,(1)由图像可知：,(2),注意：数形结合以及函数与方程思想的应用,一吐为快篇（小结）,本节课主要学习了哪些内容？,请想一想？,1、极值的判定方法 2、极值的求法,注意点：,1、f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,2、数形结合以及函数与方程思想的应用,3、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f(x0)=0左右侧导数的符号.,回味无穷篇（作业）,1、课本34习题1.3： 2、创新训练,3、思考题极值和最值的区别与联系,绘画使人赏心悦目，,诗歌能动人心弦，,哲学使人获得智慧 ，,科学可改善物质生活，,但数学能给予以上的一切。,数学是人类最高超的成就，,也