线性代数课件1-5~1-6行列式的性质与计算

1、课件,1,思 考,解,定义法求解行列式很烦琐,行列式的性质,课件,2,第五节 行列式的性质,课件,3,一、行列式的性质,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,课件,4,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,证明,课件,5,按定义,故,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,列标为标准排列，行标是一个 n 级排列的定义,课件,6,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,例如,思考,互换相邻,互换不相邻,课件,7,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,设行列式为,例如,课件,8,性质3 行列式的某一行（

2、列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,课件,9,例：,课件,10,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,课件,11,例：,课件,12,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则D等于下列两个行列式之和：,即,课件,13,行列式（2）的两个行列式的第一行对应元素 之和等于行列式（1）的第一行的三个元素.,课件,14,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,课件,15,课件,16,性质1：D=DT, 其中DT为 D 的转置行

3、列式,总结：,性质2. 行列式中交换某两行或两列，行列式 仅改变符号.,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,课件,17,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则行列式可表为两个行列式。,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,课件,18,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用基本性质转化为上三角行列式或下三角行列式。,标准：1、若a11不是1，则通过变换变为1.常用方法有：行列交换、所有行列相加提取出a11.第一行尽量选择最简单的行。

4、越简单越好。 2、朝着上三角行列式或下三角行列式的方向变化。切记不可来回漫无目地的变。 3、每一步的变化方式需要写出。,课件,19,例1. 计算,解：,发现第四行的数字较大，不便计算。,仔细观察后，第二列的元素比较简单，所以考虑交换第一列与第二列.,课件,20,例1. 计算,解：,课件,21,课件,22,课件,23,作业中的问题（习题一）,课件,24,课件,25,课件,26,课件,27,课件,28,课件,29,课件,30,课件,31,课件,32,回顾,计算行列式常用方法：利用基本性质转化为上三角行列式或下三角行列式。,标准：1、若a11不是1，则通过变换变为1.常用方法有：行列交换、所有行列相

5、加提取出a11.第一行尽量选择最简单的行。越简单越好。 2、朝着上三角行列式或下三角行列式的方向变化。切记不可来回漫无目地的变。 3、每一步的变化方式需要写出。,课件,33,复 习,课件,34,解,课件,35,课件,36,例2. 计算,特点：每一行（列）加起来均为6.,解：,课件,37,练 习,课件,38,解,课件,39,例3. 计算,特点：每行中都含有第一行中对应项,解：,课件,40,课件,41,练 习,特点：每一列加起来均相等.,课件,42,解：,课件,43,课件,44,例4,证明,分析：将行列式转变成为下三角行列式。行列式的初等变换不会改变行列式的值。,19页 例10,课件,45,总结：

6、,课件,46,再解,解,课件,47,课件,48,第六节 行列式按行（列）展开,课件,49,例如,一、余子式与代数余子式,课件,50,叫做元素 的代数余子式,例如,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作,课件,51,再如,2(在第二行第一列上，a21)的余子式是：,2的代数余子式是：,课件,52,1(在第三行第二列上,a32)的余子式是：,-1的代数余子式是：,课件,53,一般的,对于符号，可由右表：,符号“+”表示对应位置上,符号“”表示对应位置上,规律：对角线上为正，正的“邻居”为负，负的 “邻居”为正。,课件,54,引理 一个 阶行列

7、式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,课件,55,证,当 位于第一行第一列时,即有,又,从而,由19页 例10,课件,56,得,下证一般的情形，当,课件,57,得,课件,58,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,二、行列式按行（列）展开法则,课件,59,零多的行或列出现时，用展开法求行列式更简便.（三阶行列式计算对角线法更简单）,课件,60,若求,26页,课件,61,例1 计算行列式,解,课件,62,例2,解,课件,63,练 习,解,课件,64,课件,65,例3,解,课件,66,练 习,解：,课件

8、,67,课件,68,课件,69,作业中的问题（习题一 33页）,解一：,课件,70,课件,71,解二：,课件,72,证一：,最后一行依次与上一行交换，直到换至第一行,共需交换n-1次,课件,73,最后一行依次与上一行交换，直到换至第二行，共需交换n-2次.,课件,74,证二：,课件,75,将D逆时针旋转90度,先将D2上下翻转,将D沿副对角线翻转,先将D3上下翻转,先将D3左右翻转,课件,76,1、行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,回顾,课件,77,例4,n阶行列式的求法:利用行列展开定理找到递推式,从而求得解.,课件,78,解：,课件,79,课件,80,练 习,解,34页 7(1),课件,81,课件,82,证,用数学归纳法,例5,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,(大指标-小指标)的连乘积,课件,83,课件,84,课件,8