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文档简介

1、,第二节 偏导数,本节要点,一、偏导数,二、高阶偏导数,一、偏导数,在一元函数的微积分中, 我们知道, 所谓一元函数的,自然, 多元函数的情况要复杂的多. 但有时候也会遇,导数是函数增量与自变量增量的比值的极限, 即,到一个变量的改变而引起函数改变的情况. 为此, 我们,引入,1.偏增量,设函数,给自变量 以增量,称其为函数,关于自变量 的偏增量, 记为,定义域为,点,相应的函数的增量为,并使得,在点,即,2.偏导数,定义 设函数,义, 给 以增量,存在, 则称此极限为函数,或,在点,的某邻域内有定,并使得,若极限,在点,对,的偏导数, 记为,（6.3）,类似地, 若极限,存在, 则称此极限为

2、函数,对,或,在点,的偏导数, 记为,当函数 在点 同时存在对 的偏,如果函数 在某平面区域 内的每一点,等.,的偏导函数, 记为,导数, 则称函数 在点 可偏导.,都存在对 或对 的偏导, 由此得到了新的函数, 称其为,注 从偏导数的定义中可以看出, 多元函数对某一变,量的偏导数, 实际上是固定变量后仅对该变量的导数. 因,而在对某变量求导的过程中, 只需把其它变量视为常数,对该变量用一元函数求导的方法, 即可求出相应的导数.,例6.7 求函数,解,所以,在点,处的导数.,例6.8 设,解 由一元复合函数的求导法则得,求,例6.9 求,解 由一元复合函数的求导法则得,的偏导数.,类似可得,偏

3、导数记号是一个,已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R 为常数) ,不能看作,分子与分母的商 !,此例表明,整体记号,在一元函数微分学中我们知道, 如果函数在一点可导,则在该点一定连续. 但是对多元函数而言, 此结论就不,成立了. 即如果函数在某一点可偏导, 并不能保证函数,在该点连续.,3.可导与连续,例6.10 设,证 由偏导定义得,证明,在 处可偏导但不连续.,同理有,即: 函数在任意点的两个偏导都存在, 但在上节中我们,知道, 函数在点 处不连续.,二、高阶偏导数,设函数 在平面区域 内处处存在偏导数,如果这两个偏导数仍可偏导, 则称它们,的偏导数为函数 的二阶偏导数, 由

4、求导次序,可得到相应的四个二阶偏导:,而其中的 和 称为混合偏导.,函数 的二阶偏导数也可记作,例6.11 求,的四个二阶偏导.,解,例6.12 设,求二阶偏导.,解,求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,例如,二者不等,在上面的例子中, 我们可以看到这两个混合偏导是相,同的. 但一般情况下, 混合偏导不总是相等的, 它与求导,次序有关, 那么在什么情况下, 混合偏导是相等的呢?,下面的定理回答了这个问题.,定理6.1 如果函数 的两个二阶混合偏导数,在区域内 内连续, 那么在该区域内,有,所以, 在一般情况下, 若已知二阶混合偏导连续,（尤其是对多元初等函数）二阶偏导只要求三项即可.,例6.13 求,解,的二阶偏导数

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