Matrix1-3.ppt

1、13 线性变换,一、 线性变换的概念 定义 1.11 (P.19) 要点： （i）T是Vn（F）中的变换： T：Vn（F）Vn（F）。 (ii) T具有线性性： T（）=T（）T（） T（k）=kT（ ）,从一般性的角度给出的定义,例题1 Vn（F）中的相似变换T ：是F中的数，Vn（F），T（）= 。 特例： =1 ， T 是恒等变换， =0 ， T是零变换。,可以在任何线性空间中 定义相似变换!,例题2 Fn中的变换 TA：设A Fnn是一个给定的 矩阵，XFn，TA（X）=AX。 例题3 Pn X中的微分变换：,2 线性变换的性质： （i）T(0)=0 （ii） T()=T() （iii

2、）,3 线性变换的象空间和零空间 设线性变换T：Vn( F )Vn( F )， 象空间 R(T)=： Vn(F)，=T() 零空间 N（T）=：Vn(F ) ，T ( ) =0 ,定义： T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T）,线性变换保持线性相关性不变！,例题27 求Fn线性中的变换TA:Y=AX的象空间和零空间。,R（TA）=R（A）；N（TA）=N（A）,4 线性变换的运算 设T1，T2都是空间Vn(F)中的线性变换，常见的用它们构成的新的变换： （i） T1T2 Vn（F）， （T1T2）（）=T1（）T2（） （ii） T1T2 Vn（F）， (T1T2)（）=T

3、1（T2（） （iii） kT Vn（F）， （kT）（）=k（T（） （iv） 若T 1是可逆变换，T1 T1( )= 当且仅当T()=。,定义,二、 线性变换的矩阵,1 线性变换的矩阵与变换的坐标式 Vn（F）上线性变换的特点分析：,定义变换T 确定基中向量的象T（i）。 定义T（i） 确定它在基下i的坐标A i 。 定义变换T 确定矩阵A=A1，A2，An,（i） A 为变换矩阵 （ii） 变换的坐标式：Y=AX （iii） 应用意义,例题1 对线性变换 : P4 X P4 X， 求D在基1，X，X2，X3下的变换矩阵。 2 求向量 在变换D下的象。,2 线性变换运算的矩阵对应： 设Vn

4、（F）上的线性变换T1，T2，它们在同一组基下的矩阵：T1A1；T2A2 （i） （T1T2） （A1A2） （ii） （T1T2） A1A2 （iii） （kT） kA （iv） T1 A1,3 不同基下的变换矩阵 两组基：1，2，, n ，1，2，, n ， （12 n）=（12 n ）C T（1 2 n ）=（1 2 n）A T（1 2 n）=（1 2 n）B,同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的,B=C1AC,1,2,3,例题2 （P23， eg28）,例题2 （P23， eg28） 例题3 （P24， eg29） 设单位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定R3上的线性变换 P

5、（x）= x - （x，u）u， 求P在自然基e1，e2，e3下的变换矩阵。 求P在标准正交基u，u2，u3下的变换矩阵。,三、不变子空间,问题的背景： 变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系 1. 不变子空间的概念 矩阵简化要求空间分解的特点 不变子空间的定义(p24, 定义1.14) 2 . 不变子空间的判别 W是T的不变子空间 W T() W。,特别：W=L 1，2，m， W是T的不变子空间 T（i）W 。,T(W)W。,T是W上的线性变换,P24，例题30 R3上的正交投影P：P（x）= x（x，u）u，u是单位向量。证明L（u）和 u =x ：（x，u）=0是P的不变子空间。,P在L（

6、u）上是零变换，在 u 上是恒等变换！,3 空间分解与矩阵分解 Vn（F）=WU，W，U是T的不变子空间 ，,W=L 1，r，U= r + 1 ， ， n,则T,1，r， r + 1 ， ， n,Vn（F）=U1U2 Uk， 则T,矩阵Ai 的阶数=dim Ui,四、 正交变换和酉变换,讨论内积空间V；（，） 中最重要的一类变换。 1 定义1 . 15 （P25） 2 正交（酉）变换的性质： （定理1.15, P26 ）T是内积空间V（F）上的线性变换，则下列命题等价： （1）T是正交变换 （2）T保持向量的长度不变 （3）T把V（F）的标准正交基变成标准正交基 （4）T在标准正交基下的矩阵是

7、正交矩阵 3 变换的矩阵：正交矩阵和酉矩阵的性质 正交矩阵C：CTC=I 酉矩阵U： UHU=I 定理1 . 16(P27),常见的基本正交变换： 平面上的旋转 几何描述：绕坐标原点，逆时针旋转一个 角。 变换矩阵：在自然基下，,R3空间中的镜像变换 定义：S（x）= x 2（x，u）u。 变换矩阵与几何意义,空间中的旋转 几何描述：绕空间中过原点的 一根直线L， 旋转一 个角。 求变换矩阵的基本思想：寻求空间中的一组特别的基,例题1设u=e2，镜像变换:S（x）= x 2（x，e2）e2 求立方体W在镜像变换下的象. 例题2求R3中绕过原点、以 u=（1，1，1）T为正向的直线，顺u方向看去是逆时针的旋转变换T在R3中自然基下的变换矩阵。,五、线性空间Vn (F) Vm (F)的线性变换,定义 1.16 (P.28) 要点： （i）Vn (F)， =T() Vm (F) (ii) T具有线性性： T(12)=T（1）T(2) T（k）=kT( ) 例题1 (P29， eg34) 例题2（P29， eg35）,T的变换矩阵： T：Vn (F) Vm (F) 设1，2，, n 是空间Vn (F) 的基， 1，2，, m是空间Vm (F)的基， T(1，2，, n )=(1，2，, m)A A是变换矩阵。,T