7.5圆的方程.ppt

1、要点梳理 1.圆的定义 在平面内，到 的距离等于 的点的 叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是 和 . 3.圆的标准方程 （x-a）2+（y-b）2=r2（r0）,其中 为圆心, 为半径.,7.5 圆的方程,集合,圆心,半径,(a,b),r,定点,定长,4.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是 ,其中圆心为 ,半径 r= . 5.圆的参数方程 6.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： （1） ；,D2+E2-4F0,根据题意，选择标准方程或一般方程,7.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)

2、2=r2,点M(x0,y0) （1）点在圆上: ; （2）点在圆外: ; （3）点在圆内: .,(x0-a)2+(y0-b)2=r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,（2） ； （3） .,根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组,解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一 般方程,题型一 求圆的方程 【例1】求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被 直线x-y=0截得的弦长为2 的圆的方程. 由条件可设圆的标准方程求解，也可设 圆的一般方程，但计算较繁琐. 解 方法一 设所求的圆的方程是 （x-a）2+（y-b）2=r2， 则圆心（a，b）到

3、直线x-y=0的距离为 ， r2=,题型分类 深度剖析,思维启迪,即2r2=(a-b)2+14 由于所求的圆与x轴相切，r2=b2. 又因为所求圆心在直线3x-y=0上， 3a-b=0. 联立，解得 a=1,b=3,r2=9或a=-1,b=-3，r2=9. 故所求的圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.,探究提高 求圆的方程，一般用待定系数法.圆的 一般式和标准式均有三个未知数，合理选择方程 形式可以减少运算量，若已知与圆的圆心和半径 有关的条件，应优先选择圆的标准形式.,【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. （1）求y-x的最大值和最

4、小值； （2）求x2+y2的最大值和最小值. 根据代数式的几何意义，借助于平面 几何知识，数形结合求解. 解 圆的标准方程为(x-2)2+y2=3. 1分 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值， 3分 此时 解得b=-2 . 5分 所以y-x的最大值为 最小值为 7分,思维启迪,题型二 与圆有关的最值问题,（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由 平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交 点处取得最大值和最小值. 9分 又圆心到原点的距离为 10分 所以x2+y2的最大值是 x2+y2的最小值是 12分,探究提

5、高 与圆有关的最值问题，常见的有以下几 种类型：(1)形如 形式的最值问题，可转 化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t=ax+by形式的 最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形 如（x-a）2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点 到定点的距离的平方的最值问题.,知能迁移2 已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上 任意一点. （1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值 和最小值； （2）求x-2y的最大值和最小值； （3）求 的最大值和最小值. 解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的 距离为 P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为 d

6、+r= +1= ，最小值为d-r= -1= .,（2）设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点. tmax= -2，tmin=-2- . （3）设k= 则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，,【变式练习】 求圆(x2)2(y3)24上的点到xy20的最近、最远距离,题型三 与圆有关的轨迹问题 【例3】设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上 运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP， 求点P的轨迹. 先设出P点、N点坐标，根据平行四边 形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标,代 入圆的方程可求.,思维启迪,解 如图所示，设

7、P（x，y），N（x0， y0），则线段OP的中点坐标为 线段MN的中点坐标为 由于平行四边形的对角线互相平分， N（x+3，y-4）在圆上，故（x+3）2+（y-4）2=4. 因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去 两点 (点P在直线OM上时的情况).,探究提高 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条 件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目 提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定 义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程; 代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点 满足的关系式等.,知能迁移3 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0）， B（1，1）为圆内

8、一点，P，Q为圆上的动点. （1）求线段AP中点的轨迹方程； （2）若PBQ=90，求PQ中点的轨迹方程. 解（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式 可知，P点坐标为（2x-2,2y）. P点在圆x2+y2=4上， （2x-2）2+（2y）2=4. 故线段AP中点的轨迹方程为（x-1)2+y2=1.,（2）设PQ的中点为N（x，y）， 在RtPBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点， 连结ON，则ONPQ， 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故PQ中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.,题型四

9、圆的综合应用 【例4】已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交 于P，Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求 该圆的圆心坐标及半径. （1）利用垂直列出坐标之间关系， 再化为m的方程求解；（2）OPOQ得到O点 在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解； （3）利用圆的性质列出m的方程求解.,思维启迪,解 方法一 将x=3-2y, 代入方程x2+y2+x-6y+m=0, 得5y2-20y+12+m=0. 设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件： y1+y2=4,y1y2= OPOQ,x1x2+y1y2=0. 而x1=3-2y1,x2=3-2y2 x1x2=

10、9-6(y1+y2)+4y1y2 . m=3,此时0,圆心坐标为 ，半径r= .,方法二 如图所示，设弦PQ中点为M， O1MPQ， O1M的方程为y-3=2 即：y=2x+4. 由方程组 解得M的坐标为（-1，2）. 则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2. OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上. （0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2. 在RtO1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.,m=3.半径为 ,圆心为 方法三 设过P、Q的圆系方程为 x2+y2+x-6y+m+ (x+2y-3)=0. 由OPOQ知，点O（0，0）在圆上. 圆系方程可化为 x2+y

11、2+x-6y+3 + x+2 y-3 =0 即x2+(1+ )x+y2+2( -3)y=0.,又圆心在PQ上. +2（3- ）-3=0， =1，m=3. 圆心为 半径为 .,探究提高 （1）在解决与圆有关的问题中，借助 于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简 化思路，简便运算. （2）本题中三种解法都是方程思想求m值，即三 种解法围绕“列出m的方程”求m值.,知能迁移4 已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直 线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (mR). （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相 交； （2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时 的直线方程.,

12、（1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0, 即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与 2x+y-7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1）， 又有（3-1）2+（1-2）2=525,点（3，1）在 圆内部， 不论m为何实数，直线l与圆恒相交. （2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1） 且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦 长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2,此时，kl=- 从而kl=- =2. l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.,方法与技巧 1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形 式、定参数”是求圆的方程的基本方法：

13、是指根 据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定 其中的三个参数. 2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆 的几何性质，简化运算.,思想方法 感悟提高,失误与防范 1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设 哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程. 2.过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果， 若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在 的情况.,一、选择题,定时检测,1.已知C：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则F=E=0且D0是 C与 y轴相切于原点的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由F=E=0,D0 圆心为( ,

14、0)，半径 r= C与y轴相切于原点.而 C与y轴相切于 原点能得到F=E=0，但D不一定小于0.,A,2.（2009宁夏，海南文，5）已知圆C1：(x+1)2+ (y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则 圆C2的方程为 （ ） A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1,解析 圆心C1（-1，1），设C2（x,y）是点C1关 于直线x-y-1=0的对称点，则 x=2,y=-2. 圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1. 答案 B,3.已知两点A（-2，0），B（0，

15、2），点C是圆 x2+y2-2x=0上任意一点，则ABC面积的最小值 是 （ ） A.3- B.3+ C.3- D. 解析 lAB：x-y+2=0，圆心（1，0）到l的距离 d= ，AB边上的高的最小值为 Smin= （2 ） =3- .,A,4.若PQ是圆x2+y2=9的弦，PQ的中点是（1，2）, 则直线PQ的方程是 （ ） A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y+4=0 D.2x-y=0 解析 PQ中点M（1，2），kOM= =2. kPQ=- . lPQ：y-2=- （x-1），即x+2y-5=0.,B,5.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线 都相切的一

16、个圆的方程是 （ ） A.x2+y2-x-2y- =0 B.x2+y2+x-2y+1=0 C.x2+y2-x-2y+1=0 D.x2+y2-x-2y+ =0,答案D,解析,6.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0 （a,bR）对称，则ab的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析 配方得（x+1）2+(y-2)2=4,圆心（-1，2） 在直线上.a+b=1，ab,A,二、填空题 7.（2008四川文，14）已知直线l：x-y+4=0与圆C： （x-1）2+（y-1）2=2，则C上各点到l距离的最小 值为 . 解析 圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,

17、C（1，1），点C到直线l的距离为,圆C上各点到l距离的最小值为,8.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径 的圆的方程为 . 解析 方法一 直线3x-4y+12=0与两坐标轴的 交点分别为A（-4，0）、B（0，3）， 所以线段AB的中点为 故所求圆的方程为(x+2)2+,方法二 易得圆的直径的两端点为A（-4，0）、 B（0，3）， 设P（x，y）为圆上任一点，则PAPB. kPAkPB=-1，即 (x-4,x0), 亦即x(x+4)+y(y-3)=0. 化简得(x+2)2+ 答案,9.直线ax+by=1过点A（b，a），则以坐标原点O为圆 心，OA长为半径的圆的面积的最小值

18、是 . 解析 直线过点A（b，a），ab= ， 圆面积S= r2= （a2+b2）2 ab= .,三、解答题 10.根据下列条件求圆的方程： （1）经过点P（1,1）和坐标原点,并且圆心在直 线2x+3y+1=0上； （2）圆心在直线y=-4x上，且与直线l:x+y-1=0相 切于点P（3，-2）； （3）过三点A（1，12）,B（7，10）,C（-9，2）. 解 （1）设圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意列出方程组,圆的标准方程是（x-4）2+(y+3)2=25. （2）方法一 设圆的标准方程为（x-a）2+(y-b)2=r2, 解得a=1,b=-4,r=2 . 圆的

19、方程为（x-1）2+(y+4)2=8.,方法二 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3, 与y=-4x联立可求得圆心为（1，-4）. 半径r= 所求圆的方程为（x-1）2+（y+4）2=8. （3）方法一 设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0， 解得 D=-2,E=-4,F=-95. 所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.,方法二 由A（1，12），B（7，10）， 得A、B的中点坐标为（4，11），kAB=- ， 则AB的中垂线方程为3x-y-1=0. 同理得AC的中垂线方程为x+y-3=0. 联立 即圆心坐标为（1，2），半径r= =10. 所求圆的方程为（x-1）2+(y-2)2=100.,11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限, 半径为2 的圆C与直线y=x相切于坐标原点O. （1）求圆C