7.3参数的区间估计.ppt

1、一、置信区间 二、单个正态总体的区间估计 三、两个正态总体的区间估计 四、单侧置信限,7.3 参数的区间估计,我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是,点估计值仅仅是未知参数的一个近似值,它没有反映出这个近似值的误差范围,使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.我们寻找一个区间,同时给出此区间包含参数真值的可信程度,这种形式的估计称为区间估计.,譬如,在估计湖中鱼数的问题中,若我们根据一个实际样本,得到鱼数N的极大似然估计为1000条.,若我们能给出一个区间,在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.,实际上,N的真值可能大于

2、1000条,也可能小于1000条.,也就是说,我们希望确定一个区间,使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.,一、置信区间,注: F(x;)也可换成概率密度或分布律,定义: 设总体X的分布函数F(x;)含有未知参数,对于给定的 (01),若由样本X1, ,Xn确定的两个统计量 (X1, ,Xn)及 (X1, ,Xn),满足,则称随机区间 为的置信度为1的置信区间, 和 分别称为置信度为1的置信下限和置信上限.,参数的区间估计,就是求总体未知参数的置信度为1的置信区间.,例如,若=5%,即置信度为1=95%,这时重复抽样100次,则在得到的100个区间中包含真值的有95个左右,不包含真值的

3、有5个左右.,这里有两个要求:,2.估计的精确度要尽可能的高.如要求区间长度 尽可能短,或能体现该要求的其它准则.,1.要求以很大的可能被包含在区间 内,就是说,概率 要尽可能大.即要求估计尽量可靠.,可靠度与精确度是相矛盾的,一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精确度.,二、单个正态总体XN(,2)的区间估计,1.总体均值的置信度为1的置信区间,设X1,Xn是取自N(,2)的样本,(1)2已知,N(0,1),寻找未知参数的一个良好估计,选的点估计为,取,寻找一个待估参数和估计量的函数,要求其分布为已知.,有了分布,就可以求出U取值于任意区间的概率.,对于给定的置信水平(大概率),根据U的分布

4、,确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.,对于给定的置信度1,找出a,b,使得,可取,的置信度为1的置信区间为:,注: 的1置信区间不唯一,都是的1置信区间., ,但=1/2时区间长度最短.,(2)2未知,t(n1),取,选的点估计为 ,对于给定的置信度1,有,的置信度为1的置信区间为:,2.总体方差2的置信度为1的置信区间,2(n1),选2的点估计为S2,取,对于给定的置信度1,有,2的置信度为1的置信区间为:,三、两个正态总体XN(1,12),YN(2,22)的区间估计,1.两个总体均值差12的置信度为1的置信区间,设X1,X2,., 是总体X的样本,Y1,Y2,., 是总体Y

5、的样本,且这两个样本相互独立.,(1)12,22均已知,选12的点估计为,取,N(0,1),对于给定的置信度1,有,12的置信度为1的置信区间为:,=1,(2)12,22均未知,若n1,n2较大,用S12,S22代替上式中的12,22,得12的置信度近似为1的置信区间:,(2)12,22=2未知,其中,可得12的置信度为1的置信区间:,12的置信区间的含义:,12的置信下限大于0,12,12的置信上限小于0,12,12的置信区间包含数0,无法判别两个总体均值的大小,2.两个总体方差比12/22的置信度为1的置信区间,选12/22的点估计为S12/S22,对于给定的置信度1,有,取,F(n11,n21),=1,12/22的置信度为1的置信区间为:,=1,12/22的置信区间的含义:,12/22的置信上限小于1,总体N(,12)的波动较小,12/22的置信下限大于1,总体N(,12)的波动较大,12/22的置信区间包含数1,无法判别两个总体的波动性的大小,四、单侧置信限,有时我们只关心某个参数在一个方向上的界限.,比如灯泡我们关心的是它的平均使用寿命的最短时间,即它的下限.,则称随机区间( ,+)(或, )为的置信度为1的单侧置信区间, 称为置信度