暑期集训专题一规划模型与综合评价模型

1、热烈欢迎 同学们加入2011全国大学生数学建模竞赛暑期集训,2011数学建模集训规划与综合评价模型专题,精彩源于坚持，搏过才知其美,王义康 2011/7/34,规划模型、综合评价模型方法、案例及软件求解,一、规划模型回顾,五、规划模型练习,三、非线性规划模型,二、多目标规划模型,四、Matlab优化工具箱简介,规划模型,一、规划模型回顾,（一）规划模型的数学描述,下的最大值或最小值。,求函数：,在等式约束条件：,和不等式约束条件：,规划模型的数学模型表达式：,（1）线性规划（LP）,目标函数和所有的约束条件都是决策变量的线性函数。,（二）规划模型的分类,（2）非线性规划 目标函数和约束条件中，

2、至少有一个非线性函数。,（3）二次规划问题 目标函数为二次函数，约束条件为线性约束,（4）整数规划（0-1规划） 决策变量取值为整数，取值只能为0或者1。,（5）多目标规划 目标函数有两个或两个以上的规划。,（三）建立规划模型的一般步骤,1.确定决策变量和目标变量； 2.确定目标函数的表达式； 3.寻找约束条件。,二、多目标规划模型,在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，例如设计一个导弹，既要射程最远，又要燃料最省，还要精度最高. 这一类问题统称为多目标最优化问题或多目标规划问题. 我们先来看一个生产计划的例子.,案例1：土地利用问题,例: 某农场I、II、III等耕地的面积分

3、别为100 hm2、300 hm2和200 hm2，计划种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为190000 kg、130000 kg和350000kg。I、II、III等耕地种植三种作物的单产如下表所示。若三种作物的售价分别为水稻1.20元/kg，大豆1.50元/ kg，玉米0.80元/kg。那么，（1）如何制订种植计划，才能使总产量最大和总产值最大？,取 xij 决策变量，它表示在第 j 等级的耕地上种植第i种作物的面积。如果追求总产量最大和总产值最大双重目标，那么，目标函数包括：,追求总产值最大,追求总产量最大,根据题意，约束方程包括：,非负约束,对上述多目标规划问题，我们可

4、以采用如下方法，求其非劣解。,耕地面积约束,最低收获量约束,用线性加权方法,取1=2=0.5,重新构造目标函数：,这样，就将多目标规划转化为单目标线性规划。,用单纯形方法对该问题求解，可以得到一个满意解（非劣解）方案，结果见表,此方案是：III等耕地全部种植水稻，I等耕地全部种植玉米，II等耕地种植大豆19.1176公顷、种植玉米280.8824公顷。在此方案下，线性加权目标函数的最大取值为6445600。,案例2：2005B题 DVD在线租赁,考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可

5、能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。,网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：,1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查 1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1 给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显 示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只 租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种 DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证

6、希望看到 该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该 DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够 看到该DVD呢？,2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。,3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？,4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预

7、测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。,表1 对1000个会员调查的部分结果,表2 现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）,DVD在线租赁第二个问题的求解,问题二的分析,经营成本和会员的满意度是被考虑的两个相互制约的重要因素. 在忽略邮寄成本的前提下，经营成本主要体现为DVD的数量. 我们主要考虑在会员向网站提供需求信息，且满足一定要求的前提下，对给定数量DVD进行分配决策，使得DVD的数量尽量小，会员满意度最大.,假设按照公历月份进行的租赁业务，即会员无论两次租赁还是一次租赁，必须在当月内完成DVD的租与还. 同时假设网

8、站对其会员进行一次租赁业务时，只能向其提供3张该会员已经预定的DVD，否则不进行租赁.,经观察，可以认为在线订单中每个会员的预定DVD的表示偏好程度的数字反映了会员对所预定不同DVD的满意程度，且当会员租到其预定排序为1，2，3的三张DVD时，满意度达到100% .会员没有预定的DVD对其满意度的贡献为0 .,利用层次分析法的思想，对此满意指数的合理性进行简单分析.,该问题要求根据现有的100种DVD的数量和当前需要处理的1000位会员的在线订单，制定分配策略，使得会员达到最大的满意度. 因而我们认为只需对这些DVD进行一次性分配，使得会员的总体满意度达到最大. 为此考虑建立优化模型，进行求解

9、.,问题二的模型及求解,经营成本和会员的满意度是被考虑的两个相互制约的重要因素. 在忽略邮寄成本的前提下，经营成本主要体现为DVD的数量. 我们主要考虑在会员向网站提供需求信息，且满足一定要求的前提下，对给定数量DVD进行分配决策，使得DVD的数量尽量小，会员满意度最大.,由此，可得问题二的0-1整数线性规划模型如下：,根据所得的0-1整数线性规划模型，利用LINGO软件进行求解，我们得到了一组最优分配方案.,该组最优解其目标函数会员总体最大满意度为91.56%，只有6人未成功租赁（如：前30名会员中C0008未被分配到DVD），其余994个会员全都得到了3张预定的DVD .,我们希望购买DV

10、D的总数量最小，即 :,由此，可以得到问题三的双目标整数线性规划模型 如下：,表3 当 时最小购买量的 值,续上表,三.非线性规划模型,前面介绍了线性规划问题，即目标函数和约束条件都是线性函数的规划问题，但在实际问题建模过程中，还常常会遇到另一类更一般的规划问题，即目标函数和约束条件中至少有一个是非线性函数的规划问题，即非线性规划问题.,非线性规划问题的标准形式为：,非线性规划模型按约束条件可分为以下三类： 无约束非线性规划模型：, 等式约束非线性规划模型：, 不等式约束非线性规划模型：,1) 无约束的非线性规划问题.,针对上述三类非线性规划模型，其常用求解的基本思路可归纳如下：,在下降迭代算

11、法中，搜索方向起着关键的作用，而当搜索方向确定后，步长又是决定算法好坏的重要因素. 非线性规划只含一个变量，即一维非线性规划可以用一维搜索方法求得最优解，一维搜索方法主要有进退法和黄金分割法. 二维的非线性规划也可以像解线性规划那样用图形求解. 对于二维非线性规划，使用搜索方法是要用到梯度的概念，最常用的搜索方法就是最速下降法.,2) 只有等式约束的非线性规划问题通常可用消元法、拉格朗日乘子法或反函数法，将其化为无约束问题求解.,3) 具有不等式约束的非线性规划问题解起来很复杂，求解这一类问题，通常将不等式化为等式约束，再将约束问题化为无约束问题，用线性逼近的方法将非线性规划问题化为线性规划问

12、题.,最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位.最速下降法的优点是工作量小，存储变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛慢，最速下降法适用于寻优过程的前期迭代或作为间插步骤，当接近极值点时，宜选用别种收敛快的算法.,1最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：,(一)无约束优化问题的基本算法,2牛顿法算法步骤：,如果f是对称正定矩阵A的二次函数，则用牛顿法经过一次迭代 就可达到最优点,如不是二次函数，则牛顿法不能一步达到极值点， 但由于这种函数在极值点附近和二次函数很近似,因此牛顿法的收 敛速度还是很快的.,牛顿法的收敛速度虽然较快，但要求Hessian矩阵要可逆，要计算二阶导数和逆矩阵

13、，就加大了计算机计算量和存储量.,3拟牛顿法,返回,(二)有约束优化问题的基本算法,有约束非线性规划的基本解法,SUTM外点法,SUTM内点法（障碍罚函数法）,1. 罚函数法,2. 近似规划法,罚函数法,罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法去求解这类方法称为序列无约束最小化方法.简称为SUMT法 其一为SUMT外点法,其二为SUMT内点法,其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚:当 时，满足各 ，故罚项=0，不受惩罚当 时，必有 的约束条件，故罚项0，要受惩罚,SUTM外点

14、法,罚函数法的缺点是：每个近似最优解Xk往往不是容许解，而只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用；在解一系列无约束问题中，计算量太大，特别是随着Mk的增大，可能导致错误,1、任意给定初始点X0，取M11，给定允许误差 ，令k=1； 2、求无约束极值问题 的最优解，设为Xk=X(Mk)，即 ； 3、若存在 ，使 ，则取MkM( )令k=k+1返回（2），否则，停止迭代得最优解 . 计算时也可将收敛性判别准则 改为 .,SUTM外点法(罚函数法)的迭代步骤,SUTM内点法（障碍函数法）,内点法的迭代步骤,近似规划法的基本思想：将问题中的目标函数 和约束条件 近似为线性函数，并对变量的取

15、值范围加以限制，从而得到一个近似线性规划问题,再用单纯形法求解之，把其符合原始条件的最优解作为原问题解的近似,近似规划法,每得到一个近似解后，都从这点出发，重复以上步骤,这样，通过求解一系列线性规划问题，产生一个由线性规划最优解组成的序列，经验表明，这样的序列往往收敛于非线性规划问题的解。,近似规划法的算法步骤如下,四、Matlab优化工具箱简介,Matlab优化工具箱简介,1.MATLAB求解优化问题的主要函数,2. 优化函数的输入变量,使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时, 输入变量见下表:,3. 优化函数的输出变量下表:,4控制参数options的设置,(3) MaxIter: 允许

16、进行迭代的最大次数,取值为正整数.,Options中常用的几个参数的名称、含义、取值如下:,(1)Display: 显示水平.取值为off时,不显示输出; 取值为iter时,显示每次迭代的信息;取值为final时,显示最终结果.默认值为final.,(2)MaxFunEvals: 允许进行函数评价的最大次数,取值为正整数.,例：opts=optimset(Display,iter,TolFun,1e-8) 该语句创建一个称为opts的优化选项结构,其中显示参数设为iter, TolFun参数设为1e-8.,控制参数options可以通过函数optimset创建或修改。命令的格式如下：,(1)

17、options=optimset(optimfun) 创建一个含有所有参数名,并与优化函数optimfun相关的默认值的选项结构options.,（2）options=optimset(param1,value1,param2,value2,.) 创建一个名称为options的优化选项参数,其中指定的参数具有指定值,所有未指定的参数取默认值.,(3)options=optimset(oldops,param1,value1,param2, value2,.) 创建名称为oldops的参数的拷贝,用指定的参数值修改oldops中相应的参数.,返回,用Matlab解无约束优化问题,其中（3）、（4

18、）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。,常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）x，fval= fminbnd（.） （4）x，fval，exitflag= fminbnd（.） （5）x，fval，exitflag，output= fminbnd（.）,主程序为: f=2*exp(-x).*sin(x); fplot(f,0,8); %作图语句 xmin,ymin=fm

19、inbnd (f, 0,8) f1=-2*exp(-x).*sin(x); xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8),例2 对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？,解,先编写M文件fminbndtest.m如下: function f=myfun(x) f=-(3-2*x).2*x;,主程序调用fminbnd: x,fval=fminbnd(fminbndtest,0,1.5); xmax=x fmax=-fval,运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的

20、容积最大,最大容积为2立方米.,命令格式为: （1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ） （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，options） （3）x，fval= fminunc（.）； 或x，fval= fminsearch（.） （4）x，fval，exitflag= fminunc（.）； 或x，fval，exitflag= fminsearch （5）x，fval，exitflag，output= fminunc（.）； 或x，fval，exitflag，outpu

21、t= fminsearch（.）,2、多元函数无约束优化问题,标准型为：min F(X),3 fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法， 由options中参数LineSearchType控制： LineSearchType=quadcubic(缺省值)，混合的二次和三 次多项式插值； LineSearchType=cubicpoly，三次多项式插,使用fminunc和 fminsearch可能会得到局部最优解.,说明:,fminsearch是用单纯形法寻优. fminunc的算法见以下几点说明：,1 fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中的

22、参数LargeScale控制： LargeScale=on(默认值),使用大型算法 LargeScale=off(默认值),使用中型算法,2 fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由 options中的参数HessUpdate控制： HessUpdate=bfgs（默认值），拟牛顿法的BFGS公式； HessUpdate=dfp，拟牛顿法的DFP公式； HessUpdate=steepdesc，最速下降法,例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1),（1）编写M-文件 fun1.m: function f = fun1 (x) f =

23、 exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); （2）输入M文件myprg3.m如下: x0 = -1, 1; x=fminunc(fun1,x0); y=fun1(x),（3）运行结果: x= 0.5000 -1.0000 y = 1.3029e-10,（2） 画出Rosenbrock 函数的等高线图,输入命令： contour(x,y,z,20) hold on plot(-1.2,2, o ); text(-1.2,2,start point) plot(1,1,o) text(1,1,solution),（3）用fminsearch函

24、数求解,输入命令: f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2; x,fval,exitflag,output=fminsearch(f, -1.2 2),运行结果: x =1.0000 1.0000 fval =1.9151e-010 exitflag = 1 output = iterations: 108 funcCount: 202 algorithm: Nelder-Mead simplex direct search,（4） 用fminunc 函数,(1)建立M-文件fun1.m function f=fun1(x) f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(

25、1)2,(2)求解主程序,oldoptions=optimset(fminunc) options=optimset(oldoptions,LargeScale,off) options11=optimset(options,HessUpdate,dfp) x11,fval11,exitflag11,output11=fminunc(fun1, -1.2 2,options11),用MATLAB软件求解,其输入格式如下: 1.x=quadprog(H,C,A,b); 2.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); 3.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,

26、VUB); 4.x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); 5.x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); 6.x,fval=quaprog(.); 7.x,fval,exitflag=quaprog(.); 8.x,fval,exitflag,output=quaprog(.);,3. 特殊非线性规划-二次规划,例1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t. x1+x22 -x1+2x22 x10, x20,1、写成标准形式：,2、 输入命令： H=1 -

27、1; -1 2; c=-2 ;-6;A=1 1; -1 2;b=2;2; Aeq=;beq=; VLB=0;0;VUB=; x,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB),3、运算结果为： x =0.6667 1.3333 z = -8.2222,s.t.,1. 首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）: function f=fun(X); f=F(X);,其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题，基本步骤分三步：,4. 一般有约束非线性规划,3. 建立主程序.

28、非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下： (1) x=fmincon(fun,X0,A,b) (2) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(fun,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB) (4) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon) (5)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon,options) (6) x,fval= fmincon(.) (7) x,fval,exitflag= fmincon(.) (8)x,

29、fval,exitflag,output= fmincon(.),输出极值点,M文件,迭代的初值,参数说明,变量上下限,注意： 1 fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置为on），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。 2 fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。 3 fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关。,1、写成标

30、准形式： s.t.,2x1+3x2 6 s.t x1+4x2 5 x1,x2 0,例2,2、先建立M-文件 fun3.m: function f=fun3(x); f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)2,3、再建立主程序youh2.m： x0=1;1; A=2 3 ;1 4; b=6;5; Aeq=;beq=; VLB=0;0; VUB=; x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB),4、运算结果为： x = 0.7647 1.0588 fval = -2.0294,1先建立M文件 fun4.m,定义目标函数:

31、function f=fun4(x); f=exp(x(1) *(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);,x1+x2=0 s.t. 1.5+x1x2 - x1 - x2 0 -x1x2 10 0,例3,2再建立M文件mycon.m定义非线性约束： function g,ceq=mycon(x) g=x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;,3主程序youh3.m为: x0=-1;1; A=;b=; Aeq=1 1;beq=0; vlb=;vub=; x,fval=fmincon(fun4,x0,A,b

32、,Aeq,beq,vlb,vub,mycon),4. 运算结果为： x = -1.2250 1.2250 fval = 1.8951,例4,1先建立M-文件fun.m定义目标函数: function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2);,2再建立M文件mycon2.m定义非线性约束： function g,ceq=mycon2(x) g=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7;,3. 主程序fxx.m为: x0=3;2.5; VLB=0 0;VUB=5 10; x,fval,exitflag,output =fmincon(fun,x0,VLB,VUB,myco

33、n2),4. 运算结果为: x = 4.0000 3.0000 fval =-11.0000 exitflag = 1 output = iterations: 4 funcCount: 17 stepsize: 1 algorithm: 1x44 char firstorderopt: cgiterations: ,非线性规划建模实例,高速公路问题,A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，下图给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。 你的任务是建立一个数学模型，在给定三种

34、地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？你怎样使你的模型适合于下面两个限制条件的情况呢？ 1.当道路转弯是，角度至少为1400。 2.道路必须通过一个已知地点（如P）。,问题分析,在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。如果要建造的起点、终点在同一地貌中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。,变量说明,xi：在第i个汇合点上的横坐标（以左下角为直角坐标原点），i1，2，

35、4； x530（指目的地B点的横坐标） li ：第i段南北方向的长度（i1， ，5） Si：在第i段上地所建公路的长度（i1， 2，5）。 由问题分析可知，,C1：平原每公里的造价（单位：万元/公里） C2：高地每公里的造价（单位：万元/公里） C3：高山每公里的造价（单位：万元/公里）,模型假设,1、假设在相同地貌中修改高速公路，建造费用与公路长度成正比； 2、假设在相同地貌中修改高速为直线。在理论上，可以使得建造费用最少，当然实际中一般达不到。,模型建立,在A城与B城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。优化目标是在A城与B城之间建造高速公路的费用。,模型求解,这里采用

36、Matlab编程求解。 模型求解时，分别取Ci如下。 平原每公里的造价C1400万元/公里； 高地每公里的造价C2800万元/公里； 高山每公里的造价C31200万元/公里。 （注意：实际建模时必须查找资料来确定参数或者题目给定有数据）,模型结果及分析,通过求解可知，为了使得建造费用最小。建造地点的选择宜采取下列结果。,建造总费用为2.2584亿元。 总长度为38.9350公里。,求解模型的主程序文件model_p97,function x=model_p97 clear all global C L C=400 800 1200; L=4 4 4 4 4; x=fmincon(objfun_

37、97,1,1,1,1,zeros(1,4),ones(1,4)*30,mycon_p97); optans=objfun_97(x) C=ones(3,1); len = objfun_97(x),模型中描述目标函数的Matlab程序objfun_97.m,function obj=objfun_97(x) global C L obj= C(1)*sqrt(L(1)2+x(1)2) + C(2)*sqrt(L(2)2+(x(2)-x(1)2) + . C(3)*sqrt(L(3)2+(x(3)-x(2)2) + C(2)*sqrt(L(4)2+(x(4)-x(3)2)+. C(1)*sqrt

38、(L(5)2+(30-x(4)2);,描述约束条件的Matlab函数mycon_p97.m,function c,ceq=mycon_p97(x) c(1)=x(1)-x(2); c(2)=x(2)-x(3); c(3)=x(3)-x(4); c(4)=x(4)-30; ceq=;,主程序运行结果,model_p97 optans = 2.2584e+004 len = 38.9350 ans = 12.1731 14.3323 15.6677 17.8269,五、规划模型练习,1.,某企业拟用1000万元投资于A、B两个项目的技术改造。设x1 、x2 分别表示分配给A、B项目的投资（万元）。

39、据估计，投资项目A、B的年收益分别为投资的60%和70%；但投资风险损失，与总投资和单项投资均有关系：,据市场调查显示， A项目的投资前景好于B项目，因此希望A项目的投资额不小B项目。试问应该如何在A、B两个项目之间分配投资，才能既使年利润最大，又使风险损失为最小？,2. 某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系a，b表示，距离单位：千米 ）及水泥日用量d(吨)由下表给出。目前有两个临时料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20吨。假设从料场到工地之间均有直线道路相连。 （1）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨千米数最小。 （2）

40、为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两个新的，日储量各为20吨，问应建在何处，节省的吨千米数有多大？,综合评价模型与方法,2011暑期数学建模集训专题一（续）,王义康,Institute of Information Engineering, Information Engineering University,综合评价模型,基本内容： 1、数据处理与综合评价的概念； 2、评价指标的规范化处理; 3、综合评价的数学模型构建; 4、动态加权综合评价方法; 5、长江水质的综合评价模型.,一、数据处理与综合评价的概念,综合评价的问题:对被评价对象所进行的客观、公正、合理的全面评价。通常

41、的综合评价问题都是有若干个同类的被评价对象(或系统)，每个被评价对象往往都涉及到多个属性（或指标）。 综合评价的目的:根据系统的属性判断确定这些系统的运行（或发展）状况哪个优，哪个劣，即按优劣对各被评价对象进排序或分类。这类问题又称为多属性（或多指标）的综合评价问题。 综合评价的应用:研究多目标决策问题的前提，因此研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及科学决策等领域都有重要的应用价值。,构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。,1 构成综合评价问题的五个要素,一、数据处理与综合评价的概念,1 构成综合

42、评价问题的五个要素,（2）评价指标 评价指标是反映被评价对象(系统)的运行状况的基本要素。 通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。 一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。,注意到：当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。,1 构成综合评价问题的五个要素,（4）综合评价模型 对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要通过建立合适的

43、综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。,（5）评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。,综合评价的一般步骤： 明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指标体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处理等）；确定与各项评价指标相对应的权重系数；选择或构造综合评价模型；计算各系统的综合评价值,并给出综合评价结果。,1 构成综合评价问题的五个要素,返回,1. 评价指标类型的一致化,极大型指标:总是期望指标的取值越大越好； 极

44、小型指标:总是期望指标的取值越小越好； 中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取适当的中间值为最好; 区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最好。,二、评价指标的规范化处理,1. 评价指标类型的一致化,1. 评价指标类型的一致化,2. 评价指标的无量纲化,二、评价指标的规范化处理,如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会出“大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。 无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理。常用方法:标准差法、极值差法和功效系数法等。,2. 评价指标的无量纲化,2. 评价指标的无量纲化,返回,

45、三、综合评价的数学模型,问题:如何来构造合适的综合评价模型？,线性加权综合法的适用条件:各评价指标之间相互独立。 对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观地反映实际。,三、综合评价的数学模型,1. 线性加权综合法,线性加权综合法的特点： （1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性； （2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明显，即权重较大指标值对综合指标作用较大； （3）当权重系数预先给定时，该方法使评价结果对于各备选方案之间的差异表现不敏感； （4）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使用。,1. 线性加权综合法,2.

46、 非线性加权综合法,非线性加权综合法的特点： （1）该方法突出了各备选方案指标值的一致性，即可以平衡评价指标值较小的指标影响的作用； （2）在综合评价指标中权重系数大小的影响作用不是特别明显，而对指标值的大小差异相对较敏感； （3）要求所有的评价指标值（无量纲）都大于或等于1； （4）非线性加权综合法相对线性加法计算复杂。,三、综合评价的数学模型,3. 逼近理想点（TOPSIS）方法,3. 逼近理想点（TOPSIS）方法,返回,四、动态加权综合评价方法,2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的评价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的最近28个月的实际检测指标数据，包括

47、反映水质污染程度的最主要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn）、氨氮(NH3-N) 和PH值，要求综合这四种污染指标的28个月的检测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。,1. 动态加权综合评价问题的提法,根据国标（GB 38382002）的规定，关于地表水的水质可分为类、类、类、类、类、劣类共六个类别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水在污染物的含量上也有一定的差别。 在对17个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指标值不同类别的“质的差异”和同类别水的“

48、量的差异”,在此简称为“质差”和“量差”。因此，这是一个较复杂的多因素多属性的综合评价问题。,四、动态加权综合评价方法,1. 动态加权综合评价问题的提法,动态加权综合评价问题的一般提法：,根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则，解决问题的主要过程分三步完成： 将各评价指标作标准化处理； 根据各属性的特性构造动态加权函数； 构建问题的综合评价模型，并做出评价。,实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理，即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准化指标。,四、动态加权综合评价方法,2. 动态加权综合

49、评价的一般方法,2.1 评价指标的标准化处理,2. 动态加权综合评价的一般方法,2.1 评价指标的标准化处理,2020/8/13,信息工程大学 信息工程学院,150,考虑到评价指标的“质差”与“量差”，在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。 根据实际问题具体取什么样的动态加权函数，主要是从实际问题出发分析确定。 对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取不同的权函数。,2.2 动态加权函数的设定,2. 动态加权综合评价的一般方法,四、动态加权综合评价方法,2.2 动态加权函数的设定,2.2 动态加权函数的设定,2.2 动态加权函数的设定,2.3 综合评价模型的构建,2. 动态加权综合评价的一般方法,2.3 综合评价模型的构建,2. 动态加权综合评价的一般方法,返回,五、长江水质的综合评价模型,五、长江水质的综合评价模型,1. 指标数据的标准化处理,1. 指标数据的标准化处理,1. 指标数据的标准