3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

1、,3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示,共线向量定理:,复习：,共面向量定理:,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐标表示,问题：,我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 x,y,z使得 我们称 为向量 在 上的分向量。,探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的 结论吗？,任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,空间向量基本定理：,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量

2、 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使,都叫做基向量,（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,特别提示：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面， 还应明确：,（2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。,（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。,推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使 当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。,解:,连AN,练习,B,单位正交基底：,如果空间的一个基底的三个基向量

3、互相垂直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 来表示.,下面我们类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系,在空间选定一点O和一个单位正交基底 以点O为原点，分别以 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O xyz . x 轴、y 轴、z 轴，都叫做叫做坐标轴,点O 叫做原点，向量 都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.,对空间任一向量 ,由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ,使,一、空间直角坐标系,在空间直角坐标系O x y z 中，对空间任一点A, 对应一个向量 ,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z,使 (如图).,

4、显然, 向量 的坐标，就是点A在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).,也就是说,以O为起点的有向线段 (向量)的坐标可以和点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.,我们说,点A的坐标为(x,y,z),记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.,例2 设 且 是空间的一个基底,给出下列向量组 ,其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个,分析:能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面,由于 是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断,设 ,易判断出答案,C,二.例题讲解：,变式,空间四边形OABC中,M在OA上,OM=3MA,N在BC上, 且BN=2NC,设 ,用向量 表示,1、已知向量a，b，c是空间的一个基底 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底,练习,练习2.,练习:3.已知