九年级数学下册 3.3 垂径定理 3.4 圆周角与圆心角的关系导学案（新版）北师大版

1、垂径定理（1）学习目标1理解圆的轴对称性；2掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明.学法指导本节课的学习重点是“垂径定理”及其应用，学习难点是垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明；学习中通过动手操作、观察、猜想、归纳、验证得出相关结论，并加以应用.学习流程一、导学自习1阅读教材有关“赵州桥”问题，思考能用学习过的知识解决吗？2. 阅读教材“探究”内容，自己动手操作，发现了什么？由此你能得到什么结论？归纳：圆是_ _对称图形， _ _都是它的对称轴；3. 阅读教材“思考”内容，自己动手操作：按下面的步骤做一做：（如图1）（图1）第一步，在一张纸上任意画一个，沿圆周将圆剪

2、下，作的一条弦；第二步，作直径,使，垂足为；第三步，将沿着直径折叠.你发现了什么？归纳：（1）图1是 对称图形，对称轴是 .（2）相等的线段有 ，相等的弧有 . 二、新课研习（图2）活动1：（1）如图2，怎样证明“自主学习3”得到的第（2）个结论. 叠合法证明：(2)垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧.定理的几何语言：如图2 是直径（或经过圆心），且 （3）推论： 。活动2 ：垂径定理的应用（图3） 如图3，已知在中，弦的长为8，圆心到的距离（弦心距）为3，求的半径.(分析：可连结，作于)解：（4）小结：（1）辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。(2)如图4，根据垂径定理和

3、勾股定理，“半弦、半径、弦心距”构成直角三角形，则的关系为 ，知道其中任意两个量，可求出第三个量.课堂小结1.垂径定理是 ，定理有两个条件，三个结论。2.定理可推广为：在五个条件过圆心，垂直于弦，平分弦，平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧中，知 推 。当堂达标1.圆的半径为5，圆心到弦的距离为4，则2.如图5，是O 的直径， 为弦，于，则下列结论中不成立的是（ ）A. B. C. D.（图6）（图5）3. 如图6，为的直径，于，则_（图7）拓展训练已知：如图7，是的直径，弦交于点，求的长 垂径定理（2）学习目标1熟练掌握垂径定理及其推论；2能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明，进一步应用垂径

4、定理解决实际问题.学习流程一、导学自习1垂径定理： 2.推论： 3.如图1，的直径为，圆心到弦的距离的长为，则弦的长是 .二、新课研习活动1：垂径定理的实际应用怎样求P80赵州桥主桥拱半径？解：如图3，用表示主桥拱，设所在圆的圆心是点，半径为.（图3）归纳：（1）如图，半弦、半径、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理可得 . （2）在弦长、弦心距、半径、弓形高中，知道其中任意两个，可求出其它两个.（图4）活动2 ：如图5，已知，请你利用尺规作图的方法作出的中点，说出你的作法（图5）作法：课堂小结1. 本节课你有哪些收获？ 2.你有什么收获和同学分享？还有什么问题？当堂达标1.（长春中考）如图6，

5、是的直径，弦，垂足为，如果,那么线段的长为（ ）圆心到弦的距离的长为3，则弦的长是 .（图6）A. 10 B. 8 C. 6 D.4（图9）（图8）（图7）2.如图7，在中，若于点， 为直径,试填写出三个你认为正确的结论： ， ， .3. 为内一点，半径为，则经过点的最短弦长为_；最长弦长为_4. 如图8，为的弦上的点，的半径为，则_5. 泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道如图9所示，污水水面宽度为，水面至管道顶部距离为，问修理人员应准备内径多大的管道?解：如图10，连接，过作，垂足为，交圆于， 拓展训练已知：如图11，是半圆上的两点，是O的直径，是的中点(1)在上

6、求作一点，使得最短；(2)若，求的最小值（图11）（图10）圆周角与圆心角的关系（1）学习目标1理解圆心角的概念，掌握圆的旋转不变性（中心对称性）；2掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系进行有关的计算和证明.学习流程一、导学自习（一）知识链接1 是中心对称图形. (自己叙述)2要证明两条弧相等，到目前为止有哪两种方法？（1） （2） （二）自主学习1顶角在 的角叫做圆心角.2. 圆既是轴对称图形，又是 对称图形，它的对称中心是 .实际上，圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，因此，圆还是 对称图形. 二、新课研习活动1：(1) 阅读教材“探究”内容，动手操

7、作：（可以把重合的两个圆看成同圆）在两张透明纸上，作两个半径相等的和，沿圆周分别将两圆剪下；在和上分别作相等的圆心角和，如图1所示，圆心固定注意：在画与时，要使相对于的方向与相对于的方向一致，否则当与重合时，与不能重合（图1）将其中的一个圆旋转一个角度使得与重合通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由(2)猜想等量关系： ， .（3）（利用圆的旋转不变性）验证：（4）归纳圆心角、弧、弦之间关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 。（5）推论： 。活动2：下面的说法正确吗？若不正确，指出错误原因.(1)如图2，小雨说：“因为和所对的圆心角都是

8、，所以有.”(2)如图3，小华说：“因为,所以所对的等于所对的.”（图3）（图2）活动3：如图4，在O中，求证:（图4）（分析：根据圆心角、弧、弦之间关系定理，欲证，可先证什么？）证明：课堂小结1. 圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的 也相等.此结论是证明圆心角相等、弧相等、弦相等常用的依据.2.定理使用要注意“同圆或等圆”这个前提。当堂达标1.在同圆或等圆中，如果,那么与的关系是（ ）A. B. C. D.无法确定（图5）2. 下列命题中，真命题是（ ）A相等的弦所对的圆心角相等 B. 相等的弦所对的弧相等C. 相等的弧所对的弦相等

9、 D. 相等的圆心角所对的弧相等3.如图5，是 O的直径，是上的三等分点，则是（ ）A B. C. D. 4.教材p83练习第2题（做在书上）5.已知，如图6，在中，弦，你能用多种方法证明吗？（图6）拓展训练已知：如图7，AB为的直径，为上的两点，且为的中点，若，（图7）求的度数圆周角与圆心角的关系（2）学习目标1理解圆周角的定义,了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角2掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明.学习流程一、导学自习1阅读教材“思考”并认真读图，如图1，视角叫做 角，而视角、和不同于视角这一类的角，我们把、和这一类的角叫做 .2.顶点在 ，并且两边都与圆

10、 的角叫做圆周角圆周角定义的两个特征：（1）顶点都在 ；（2）两边都与圆 3.自己完成课本练习4.视角和有什么关系？视角和和视角相同吗？实际上要研究同弧（）所对的圆心角（）与圆周角（）、同弧所对的圆周角（、等）之间的大小关系二、新课研习活动1：(1) 阅读教材“探究”内容，动手量一量问题1：同弧（弧）所对的圆心角与圆周角的大小关系是怎样的？问题2：同弧（弧）所对的圆周角与圆周角的大小关系是怎样的？（2）规律：同弧所对的圆周角的度数 ，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的 活动2：（1）同学们在下面图3的中任取所对的圆周角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系?（图2）（图3）（2）实际

11、上，圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部（如图4）（3）如何对活动1得到的规律进行证明呢？证明：当圆心在圆周角的一边上，如上图4(1),当圆心在圆周角内部（或在圆周角外部）时，能不能作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论.证明：作出过的直径（自己完成）（4）同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半其实，等弧的情况下该命题也是成立的，命题“同弧或等弧所对的圆周角相等”也是正确的，想一想为什么？（5）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 （6）由圆周角定理和圆心角、弧、弦之间关系，可以证明：（学生自己完成）推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定 .说明：注意圆周角定理及推论1不能丢掉“同圆或等圆”这个前提.活动3：（小组讨论）由图5，结合圆周角定理思考问题1：半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？ 问题2：的圆周角所对的弦是什么?推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ； 的圆周角所对的弦是直径说明：推论2为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件.课堂小结谈谈本节课的体会：知识、思想、方法、收获、当堂达标1. 在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？（1） （2）