统计量及其抽样分布的相关概念(ppt 47页).ppt

1、本资料来源,第 6 章 统计量及其抽样分布,6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的抽样分布,学习目标,了解统计量及其分布的几个概念 了解由正态分布导出的几个重要分布 理解样本均值的分布与中心极限定理 掌握样本比例的抽样分布,6.1 统计量,6.1.1 统计量的概念 6.1.2 常用统计量 6.1.3 次序统计量 6.1.4 充分统计量,统计量(statistic),设X1,X2,Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T(X1,X2,Xn)，不依赖于任何未知参数，则称函

2、数T(X1,X2,Xn)是一个统计量，其作用是把样本中有关总体的信息汇集起来。 样本均值、样本比例、样本方差等都是统计量 统计量是样本的一个函数 统计量是统计推断的基础,常用统计量,样本均值、样本方差、样本变异系数等 矩：在统计学中，矩是指以期望值为基础而定义的数字特征。矩可以分为原点矩和中心距两种。 样本均值为一阶原点矩； 样本方差为二阶中心距。,次序统计量（顺序统计量）,一组样本观测值X1,X2,Xn由小到大的排序 X（1）X（2） X（i） X（n） 后，称X（1），X（2），X（n）为次序统计量 中位数、分位数、四分位数等都是次序统计量,充分统计量,定义：统计量加工过程中一点信息都不损

3、失的统计量通常称为充分统计量 例：P159,6.2 关于分布的几个概念,6.2.1 总体分布 6.2.2 样本分布 6.2.3 抽样分布 6.2.4 渐进分布 6.2.5 随机模拟获得的近似分布,总体：是我们所关心的若干个元素（个体）的集合。总体中每个元素的取值是不同的，这些观察值所形成的分布就是总体分布。 总体分布：总体中各元素的观察值所形成的相对频数分布，称为总体分布。,总体分布 (population distribution),总体：是我们所关心的若干个元素（个体）的集合。总体中每个元素的取值是不同的，这些观察值所形成的分布就是总体分布。 总体分布：总体中各元素的观察值所形成的相对频数

4、分布，称为总体分布。,总体分布 (population distribution),样本:是从总体中所抽取的部分元素的集合 样本分布：从总体中抽取一个容量为n的样本，由这n个观察值形成的相对频数分布，称为样本分布。 注意：样本来自总体，其中包含着总体的一些信息和特征，因此样本分布也称为经验分布。注意与抽样分布是不同的概念。,样本分布 (sample distribution),抽样分布：某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布。 从一般意义上，抽样分布就是指样本统计量的概率分布。例如，样本均值的分布、样本比例的分布、样本方差

5、的分布等都称为抽样分布。下面重点介绍样本均值的抽样分布。,抽样分布 (sampling distribution),渐近分布P160 近似分布P160 (了解),6.3 由正态分布导出的几个重要分布,6.3.1 2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布,2 分布,由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡皮尔逊(KPearson) 分别于1875年和1900年推导出来 设 ，则 令 ，则 Y 服从自由度为1的2分布，即 当总体 ，从中抽取容量为n的样本，则,2分布(2 distribution),分布的变量值始终为正 分布的形状取决于其自由度n的大

6、小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称 期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度) 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U2(n1)，V2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布,2分布(性质和特点),c2分布(图示),t 分布,t 分布,高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以“Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散 一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布,t 分布图示,F 分布,由统计学家费希尔(R.

7、A.Fisher) 提出的，以其姓氏的第一个字母来命名 设若U为服从自由度为n1的2分布，即U2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V2(n2),且U和V相互独立，则称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为,F分布(F distribution),F分布(图示), 不同自由度的F分布,6.4 样本均值的分布与中心极限定理,在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 推断总体均值的理论基础,样本均值的抽样分布,样本均值的抽样分布(例题分析),【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1，x2=2，x3=

8、3，x4=4 。总体的均值、方差及分布如下,均值和方差,样本均值的抽样分布 (例题分析), 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为,样本均值的抽样分布 (例题分析), 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布,样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析), = 2.5 2 =1.25,总体分布,样本均值的抽样分布与中心极限定理,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数学期望为，方差为2/n。即xN(,2/n),中心极限定理(central limit theorem),中心极限

9、定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,中心极限定理 (central limit theorem),x 的分布趋于正态分布的过程,抽样分布与总体分布的关系,样本,样本均值的抽样分布(数学期望与方差),样本均值的数学期望 样本均值的方差 重复抽样 不重复抽样,样本均值的抽样分布(数学期望与方差),比较及结论：1. 样本均值的均值(数学期望) 等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n,均值的抽样标准误差,所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度 也称标准误差 小于总体标准差

10、 计算公式为,样本比例的抽样分布,定义：总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比 不同性别的人与全部人数之比 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比 总体比例可表示为 样本比例可表示为,比例(proportion),样本比例（即成数）的抽样分布（简称比例分布）,抽样,总体,样本,比例,X,(N),比例 =Ni/N,x,(n),所有可能的样本的比例（ ）所形成的分布，称为样本比例的抽样分布。,在重复选取容量为的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似 推断总体比例的理论基础,样本比例的抽样分布,样本比例的数学期望 样本比例的方差 重复抽样 根据中心极限定理，只要样本足够大， 的分布就近似正态分布。（即np和nq大于5时）,样本比例的抽样分布(数学期望与方差),本章重点,1、概念：统计量、抽样分布、t分布、中心极限定理 2、样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布,练习题,1、设X1,X2,Xn是从某总体X中抽取的一个样本，下面哪个不是统计量（ ） A、 B、 C、 D、 2、抽样分布是指（ ） A、一个样本各观察值的分布； B、总体中各观察值的分布 C、样本统计量的分布 D、样本数量的分布,1、大样本的样本比例的抽样分布服从（ ） A、 正态分布 B、 F分布 C、 t分布