2平行六面体与长方体.ppt

1、1,证明：设O是A 的中点，则,设P、M、N分别是 、 、 的中点，,同样可证,由此可知O、P、M、N四点重合，定理得证。,已知：平行六面体ABCDABCD（如图） 求证：对角线AC、BD、CA、DB相交于一点O，且在点O处互相平分.,定理1：平行六面体的对角线相交于一点，并且在交点处互相平分.,2,定理2：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.,证明：,3,已知长方体的一条对角线AC1,AC1与AB、AD、AA1所成的角分别为、，与过A的三个面所成的角为、。,证明：,4,5,求证：ABMN,c,b,a,N,C,B,A,C,B,A,例题：,已知正棱柱ABC-ABC各棱长为1

2、，M是底面,BC边的中心，N是侧棱CC1上 的点，4CN=CC，,解法1：用三垂线定理证明异面直线垂直，,关键：寻找其中一条直线所在平面的垂线,解法2：向量法,关键：寻找X、Y、Z轴,y,x,z,解法3：利用空间向量基本定理,关键：寻找知道模及夹角的基底,做一做:,6,1.以下四个命题中真命题的是_ 底面是矩形的平行六面体是长方体; 棱长都相等的直四棱柱是正方体; 有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体 是直平行六面体; 对角线相等的平行六面体是直平行六面体.,应用:,7,5.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1B与截面A1B1CD所成的角为300. 求证:此四棱柱为正方体.,如果长

3、方体的一条对角线和经过这条对角线一个端点的三个面所成的角分别为 , , , 则,练习:绿色通道P98-1.2.3.4.5,8,例2 下列命题中的假命题是 A. 直棱柱的侧棱就是直棱柱的高 B. 有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C. 直棱柱的侧面是矩形 D. 有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱,解,A.直棱柱的侧棱垂直于底面，是直棱柱的高，命题为真。 B.有一个侧面是矩形，并不能保证侧棱垂直于底面，命题为假 C.直棱柱的侧面是矩形，命题为真 D.因棱柱的侧棱互相平行，因此，有一条侧棱垂直于底面，则所有侧棱都垂直于底面，构成直棱柱，命题为真。,故选B 。,9,例3 棱柱成为直棱柱的一个充要条件是

4、A. 棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直 B. 棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直 C. 棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直 D. 棱柱的侧面与底面都是矩形,解,A.棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直推不出棱柱是直棱柱。（棱柱的一条侧棱与底面的两边垂直，没有明确这两条边是否相交，保证不了） B. 棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直推不出棱柱是直棱柱。（棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直，即底面上一条直线与侧面垂直保证不了侧棱与底面垂直）,10,D. 棱柱是直棱柱推不出棱柱的侧面与底面都是矩形。（棱柱是直棱柱，底面不一定是矩形）,故选C。,C.棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直。（侧面与底面垂直，侧面又不

5、是矩形，根据两平面垂直的性质定理，侧棱垂直与底面）,11,解,所以 AB1MN,例4 已知正三棱柱的ABCA1B1C1 各棱长都为1 （如图），M是 底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上 的 点 ，且 CN = CC1，求证 AB1MN,12,四、练习,1. 一个棱柱是正棱柱的条件是 A.底面是正方形，有两个侧面垂直与底面 B.每个侧面是全等的矩形 C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.底面是正方形，有两个侧面是矩形,2. 棱柱的侧面是_形，直棱柱的侧面是_形，正棱柱的侧面 是_形,13,B,C,A,B1,C1,A1,D,O,14,B,C,A,B1,C1,A1,D,D1,15,B

6、,C,A,B1,C1,A1,D,16,B,C,A,B1,C1,A1,D,O,17,B,C,A,B1,C1,A1,D,18,A,B,F,E,D,C,A1,B1,F1,E1,D1,C1,19,A,B,F,E,D,C,A1,B1,F1,E1,D1,C1,20,B,C,A,B1,C1,A1,D,O,H,21,例2、已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都 为1，M是底面上BC的中点，N是侧棱CC1上的 点，且CNCC1，求证：AB1MN,A,N,C,M,B,A1,B1,C1,22,例题选讲,定理平行六面体的对角线交于一点， 并且在交点处互相平分。,已知：平行六面体AC（如图）,求证：对角线AC、BD、

7、CA、DB交于一点， 且在点O处互相平分。,23,24,、如图,在正四棱柱ABCD_A1B 1C 1D1中,底面边长为m,对角线BD1与底面所成角为, BD1平面ACE. 求(1) ACE的面积; (2)正四棱柱的体积.,25,3，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABCD为菱 形，边长为4，DAB600B1BC，A1A6， AA1与底面ABCD所成角是600。 (1)求底面ABCD与底面A1B1C1D1的距离。 (2)求A到平面BCC1B1的距离。,例题讲解,1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD. (1)若面PAD与面ABCD的二面角为600，求四棱锥的体积；,

8、作、,证、,求？, PB面ABCD，BAAD，PAADPAB就是面PAD与面ABCD的二面角的平面角,解：,即PAB600,V= a3,例题讲解,1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD. (2)证明不论高PB怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于900.,M,证：由题设侧面PAD与PCD为全等，,作CMPD于M，连结MA，则CDMADM，,AMCM，AMD900,故AMC就是所证二面角的平面角.,连结AC,在AMC中，由余弦定理 cosAMC =,故AMC900，即证.,小结：作二面角平面角的方法 有面的垂线，则一作一连法 定义法，在两面内作棱的垂线 面积射影定

9、理,变化一,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，BCD600，PB面ABCD.若面PAD与面ABCD的二面角为600，求四棱锥的体积；,E,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，BCD600，面PBC面ABCD，且PBC是等边. 求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角；,变化二,E,注意：面面垂直的应用 分析平面图形,例题讲解,2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt， C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AC=AA1=2 (1)求线段DE的长,例题讲解,2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt， C=900 ，D、E分别是CC

10、1和A1B的中点，AC=AA1=2 (2)求二面角A-BD-C的大小(反三角表示),解： ABC-A1B1C1是直棱柱，ACBC，,AC侧面BB1C1C，,作CMBD于M，连结AM，,则AMC就是所求二面角的平面角；,在ACM中，AC2,tanAMC=AC/CM=,即所求为,ACCM，,例题讲解,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt，C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AA12，若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G. (1)求A1B与平面ABD所成的角(用反三角表示)；,解：连结BG，由已知EBG就是所求的角，, ,A1B与平面ABD所成的角为,例题

11、讲解,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt，C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AA12，若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。,方法A：作垂线法,方法B：等体积法,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt，C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AA12，若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。,解A：由上题解知，DE平面AA1B1B,平面ADE平面AA1B1B于AE,在A1AB1中，A1K,方法A：作垂线法,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1

12、C1中，底面ABC是等腰Rt，C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AA12，若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。,解B：,方法B：等体积法,方法C：对象转换法,36,练习：正四棱锥S-ABCD中,高为a,底面边长为2a, 求: （1）底面与侧面所成的二面角； （2）点B到侧棱SC的距离； （3）相邻两个侧面所成的二面角。,O,H,E,37,基础练习 判断题 1.有一个面是多边形，其它面都是三角形的几何体是棱锥。（ ） 2.一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直。（ ） 3.一个棱锥可以有一个侧面和底面垂直。（ ） 4. 底面是正多边形的棱锥一定

13、是正棱锥。（ ） 5 .所有的侧棱的长都相等的棱锥一定是正棱锥。( ） 6.下面给出的那些是正棱锥?说明理由( ) A.高过底面多边形的外接圆的圆心的棱锥 B.侧面与底面所成的二面角都相等的棱锥 C.侧棱与底面所成的角都相等的棱锥,不是,不是,是,不是,不是,38,例三.设一个正三棱锥的侧面和底面的交角为60o，则棱锥的侧棱和底面的交角的余弦值是多少？,解：设OD=1则OC=2 在RTSOD中SO=ODtan60o= 在RTSOC中SC= = cosSCO=OC/SC=2/ = 2 /7,39,例1:如图已知正三棱锥S ABC中,E、F分别是SB、SC 的中点，平面AEF平面SCB. 求证：三

14、棱锥SABC侧面 积与底面积的比。,解：作正棱锥的高SO，连结AO并延长交BC于D， 连结SD交EF于G，连结AG.,G,O,40,设正三棱锥SABC的底面边长为 ，则AD= ，SA=SB=,41,例2.正三棱锥的侧面积为18 cm2,高为3cm.被一个过底面中心且 平行于一个侧面的平面所截,求这个截面与底面所成的角和面积,O,解：过底面ABC的中心O作ODBC，交AB、AC于D、E，过DE作平面DEF 平面VBC，与平面ABV、平面ACV分别交于DF、EF。,设正三棱锥底面边长为 cm,AO与BC交于C，连VG设VG=h cm,42,B.体积问题:V棱柱=sh V棱锥= sh,D,43,3.

15、已知正三棱锥VABC，底面边长为6， 侧面与底面所成的二面角为60。，求它的高和侧棱长。,A,B,D,C,O,V,解：过V作VO面ABC，O是垂足，由正三棱锥的性质知，O为正ABC的中心，连结AO、CO并延长CO交AB于D，连结VD，则ODAB、VDAB(三垂线定理) VDO是侧面VAB与底面ABC所成二面角的平面角，即VDO= 60。 又ABC是正三角形，AB=6 CD= AB= DO= CD= AO= CD= 由Rt VOD得：VO=ODtan 60。 = =3 由Rt VOA，AO= VO=3，得AV=,44,平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a， A1AD= A1AB= DA

16、B= 60,（1）求证：AA1面B1CD1,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,45,平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a， A1AD= A1AB= DAB= 60,（1）求证：AA1面B1CD1,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,46,平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a， A1AD= A1AB= DAB= 60,（1）求证：AA1面B1CD1,（2）求平行六面体的体积？,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,V= SA1B1CD1CE,CE=,SA1B1C1D1=,=,47,平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a， A1AD= A1AB= DAB=

17、60,（1）求证：AA1面B1CD1,（2）求平行六面体的体积？,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,SB1CD1=,VC1-B1CD1= SB1CD1CC1,48,平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a， A1AD= A1AB= DAB= 60,（1）求证：AA1面B1CD1,（2）求平行六面体的体积？,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,SB1CD1=,VC1-B1CD1= SB1CD1CC1,=,= SB1C1D1h,V= ( 2 SB1C1D1)h,49,A,B,C,D,P,F,E,已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是 AD，AB的中点，PC面ABCD，PC=

18、2， 求点B到平面PEF的距离？,G,O,H,点线,点面,线面,50,A,B,C,D,P,F,E,已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是 AD，AB的中点，PC面ABCD，PC=2， 求点B到平面PEF的距离？,G,= SBFEPC,= SPFEh,51,正三棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？,P,A,B,C,O,52,正四棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？,P,A,B,D,C,O,53,正三棱锥的底面边长为a .侧棱与底面所成的角为60,过底面一边做一截面使其与底面成30的二面角，

19、求此截面面积？,P,A,B,C,O,54,已知： 三棱锥P-ABC的底面是等腰三角形,AB=AC=10,BC=12,棱锥的侧面与底面所成的二面角都是45,求棱锥的侧面积?,55,正三棱锥的底面边长是6,侧棱长是4,则 正三棱锥的高是; 斜高是; 侧棱与底面所成的角是; 侧面与底面所成角是;,C,O,E,练习,56,练习,3.棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高截成1:2，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积比等于 A19 B18 C14 D13,B,2.,1.,57,例2 如图 四棱锥的高为，底面为菱形，侧面和侧面所成的二面角为1200，且都垂直与底面，令两个侧面与底面所成的角都等于600，求此棱锥的全面积。,58,七、练习：,1、三棱锥PABC各侧面与底面所成的二面角都是600，底面三角形的边长分别为3、4、5，求此棱锥的侧面积。,2、过棱锥的高的两个三等分点作平行与底面的截面，设两个截面面积与及底面面积分别为S1、S2、S3，求S1：S2：S3（S1 S2）,59,例2设正棱柱的侧面积为S侧，底面积为S底， 侧面与