2011[1].3.26数学归纳法用(人教A版)选修2-2.ppt

1、2.3数学归纳法,高二二部数学组,2012.03.04,问题情境,解：,猜想该数列的通项公式还可以写为,（2）你的猜想一定是正确的吗？,解：,所以猜想不正确！,问题情境,（2）你的猜想一定是正确的吗？,验证:,还有完没完啊,正整数无数个!,下面我们看看下列的情景对我们解决本题证明有 什么启示？,1、第一块骨牌倒下,2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下,条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下,这与我们要解决的问题有相似性吗？,请同学们思考并讨论所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件?,多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题有相

2、似性吗？,多米诺骨牌游戏原理,（1）当n=1时，猜想成立,根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。,通项公式为 的证明方法,由(1)和(2)可知，猜想对于任何 都成立。,证明:,(1)当,猜想成立。,(2),则当,由(1)和(2),可知等式对任何 都成立.,证明：,（1）当n=1时，,左边=12=1,等式成立,(2)假设当n=k时等式成立,即,则当n=k+1时,即当n=k+1等式也成立,凑出目标,用到假设,例1:证明,先证明当n取第一个值n0(例如n0=1或n0=2) 时命题成立，然后假设当n=k (kN, kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归

3、纳法.,一般地，对于某些与正整数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：,数学归纳法的两个步骤：,()（归纳奠基）证明当nn0 (如n0 1或2等)时，结论正确；,()（归纳递推）假设nk(kN*且kn0)时结论正确，并应用此假设证明nk1时结论也正确,数学理论,用数学归纳法证明,证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立,即当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2），可知等式对任何正整数 n都成立,（2）假设当n=k时，等式成立，即,递推基础,递推依据,则当n=k+1时，,例2,用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：,（1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论

4、正确；,（2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确,递推基础,递推依据,“找准起点，奠基要稳”,“用上假设，递推才真”,“综合（1）、（2），”不可少！,注意:数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。,温馨提示,分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：,练习,纠错!,（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*),证明 ：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN*),那么，当n=k+1时，有 2+4+6+8+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 , 因此，对于任何nN*等式都成立。,缺乏“递推基础”,事实上，我们可以用

5、等差数列求和公式验证原等式是不成立的！,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法,请修改为数学归纳法,证明 当n=1时,左边= ,假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即,此时，原等式成立。,则当n=k+1时,由 知,对一切正整数n,原等式均正确.,证明 当n=1时,左边= ,这才是数学归纳法,假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即,右边=,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,由 知,对一切正整数n,原等式均正确.,(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论；,(3)数学归纳法优点：即克服了完全归纳法的繁杂的缺 点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。,(4)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来 解决“无限”的问题,(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题 的重要方法,课堂小结,（2）假设当n=