《5.1.1 归纳》课件.ppt

1、第5章 推理与证明,51合情推理和演绎推理 51.1归纳,【课标要求】 1了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理 2了解归纳在数学发现中的作用,自学导引,1由一系列有限的 事例得出 结论的推理方法叫作归纳 2归纳推理的一般步骤 首先，通过观察特例发现某些 或 ；然后把这种共性推广为 ；最后对所得出的一般性猜想，进行 3用归纳推理可以帮助我们从具体事例中发现 ，但是仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论 ,特殊,一般,共性,一般规律,一般性命题(猜想),检验和证明,一般规律,不一定可靠,自主探究 归纳推理的一般步骤是什么？ 提示(1)通过观察个别情况发现某些相同性质 (2)从已知的相同

2、性质中推出一个明确的一般性命题(猜想),预习测评,1关于归纳推理下列说法正确的是 () A归纳推理是一般到一般的推理 B归纳推理是一般到特殊的推理 C归纳推理的结论一定是正确的 D归纳推理的结论不一定正确 答案D,答案D,3数列2，5，11，20，x，47，中的x等于_ 答案32,4观察下列不等式：|23|2|3|，|(3)5|3|5|，|23|2|3|，|44|4|4|，归纳出一般结论为_(x，yR) 解析观察易发现：两个实数和的绝对值不大于这两个数的绝对值的和，即|xy|x|y|. 答案|xy|x|y|,3数列2，5，11，20，x，47，中的x等于_ 答案32,名师点睛,1根据一类事物的

3、部分对象具有的某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理，简称归纳 2归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理过程，其思维过程大致如下：实验观察概括推广猜测一般性结论 3归纳推理的前提和结论不具有必然性联系，前提正确，其结论不一定正确结论的正确性还需要理论证明或实践检验,4归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，因此，由归纳推理得出的结论超越了前提所包容的范围(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论不一定真实，因此它不能作为数学证明的工具(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问

4、题和提出问题,典例剖析 题型一归纳推理的证明,【例1】 直线l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内再画第3条直线，那么这3条直线最多可能有_个交点，如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可能有_个交点，由此可以猜想：在同一个平面内6条直线最多可有_个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有_个交点(用含有n的代数式表示),解析本题根据已知猜想n条直线的交点个数，可将n取几个特殊值时的交点个数列出，根据规律去猜想： 由以上数据可看出如下规律：(交点个数),方法点评虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能

5、，对于数学的发现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作出归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一,答案f(x)g(y)g(x)f(y)g(xy)0能,题型二运用归纳推理探索解题思路，能寻找解题 方法,【例2】 平面上有n(n2)条抛物线，其中每两条都相交于两点，并且每三条都不相交于同一点，试求这n条抛物线把平面分成多少个部分？,解当n2时，即两条相交抛物线把平面分成5部分，记f(2) 5221； 当n3时，f(3)10321； 当n4时，f(4)17421； 当n5时，f(5)26521； 归纳猜想：f(n)n21(n2) 证明设n条抛物线将平面分成f(n)个部分；有(n1)

6、条抛物线时，由于第n1条抛物线与前n条抛物线共有2n个交点，这2n个交点将第n1条抛物线共分成2n1段，而每一段都把原来所在的部分分成了两部分，从而增加了2n1个部分，所以f(n1)f(n)2n1(n2),f(3)f(2)5； f(4)f(3)7； f(5)f(4)9； f(n)f(n1)2n1， 以上各式相加得： f(n)f(2)(5792n1) n21(n2) 所以满足题意的n条抛物线将平面分成n21个部分,方法点评运用归纳推理需要考查部分对象的情形，从而归纳猜想出一般规律，这样往往有时计算量大，易出偏差，且内部潜在的规律性有时难于看出来，就用“递推法”取代“经验归纳法”，转向考察问题每递

7、进一步所反映的规律，即探求递推关系，最后用初始值及递推关系来寻找一般规律，从而得出问题的结论,题型三归纳推理的结论,方法点评通过观察个别情况发现某些相同性质，从相同性质中推出一个明确表述的一般性结论，一般地，归纳个别情况越多，越具有代表性，推广的结论越可能为真,方法技巧如何进行归纳推理,【例4】 已知数列an满足a11，an12an1(n1，2，3，) (1)求a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项公式an.,解(1)当n1时，知a11， 由an12an1得a23， a37，a415，a531 (2)由a11211， a23221， a37231， a415241， a531251. 可归纳猜想，an2n1(nN),方法点评归纳推理