神奇的悖论.ppt

1、神奇的悖论数学中的语文,什么是悖论？,悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。,一般地说，由于悖论是一种形式矛盾，即是某些特殊的思想规定的产物，它们就不可能是事物辩证性质的直接反映；进而，我们也就不能把它们说成是“特殊的客观真理”，而只能说它们是“歪曲了的真理”。,悖论的形式,悖论有三种主要形式： 1一种论断

2、看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。 2一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。 3一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。,悖论的种类,悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。,逻辑悖论之语义悖论,三段论推导的悖论 （）亚里士多德是哲学家 （）哲学家是类概念 （）所以，亚里士多德是类概念。 这其中蕴含了“语义悖论”,（）亚里士多德是哲学家 （）哲学家是类概念 （）所以，亚里士多德是类概念。 语句中的哲学家和语句中的“哲学家”不在一个层次上。两个前提内涵不一致，结论就荒谬了。从根本上来讲这不是一个语言或语法问题，而是一种逻

3、辑错误。,逻辑悖论之全能悖论,上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西吗？如果他能，那么他不能举起这个东西，就证明他力量方面不是全能的。如果他不能，那么不能创造出这样一个东西，就证明他在创造方面不是全能的。 回答一：是上帝是全能的，所以“不能举起”是毫无意义的条件。 回答二：这个问题本身就是矛盾的，就像“正方形的圆”一样。,逻辑悖论之意志自由,如果上帝无所不能并在造出我们之前就已经知道我们会做什么，那么我们如何才能够拥有自由意识呢？ 回答：这个悖论可以用上帝存在超越时间来解释他可以知道未来，就如同他知道过去和现在。正如过去并不干涉我们的意志自由，未来也不会干涉。,逻辑悖论之沙堆悖论,有一堆1，0

4、00,000颗沙粒组成的沙堆。如果我们拿走一颗沙粒，那么还是有一堆；如果我们再拿走一颗沙粒，那么还是一堆。如果我们就这样一次拿走一颗沙粒，那么当我们们取得只剩下一颗沙粒，那么它还是一堆吗？ 回答：设定一个固定的边界。如果我们说10,000颗沙粒是一堆沙，那么少于10，000颗沙粒组成的就不能称之为一堆沙。显然这样区分9999颗沙和10001颗沙就有点不合理。那么就有一个解决方案了设定一个可变的边界，但是这个边界是多少，并不需要知道。,逻辑悖论之理发师悖论,一个男理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己剃头的男人都由我给他们剃头，我也只给这些人剃头。 谁给这位理发师剃头呢？ 如果他自己剃头，那

5、他就属于自己剃头的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人剃头，因此他不能自己来剃头。如果另外一个人来给他剃头，那他就是不自己剃头的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人剃头。因此其他任何人也不能给他剃头。看来，没有任何人能给这位理发师剃头了！,这是伯特纳德罗素提出的这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹果的东西的集合，它本身就不是苹果，所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元素的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。,理发师悖论的数学表达式： 已知：集合Z=x|

6、xx 问：x是否属于集合Z? 或者： 已知：P=AAA Q=AAA 问：QP 还是 QQ？,这就是著名的罗素悖论！,罗素悖论的影响,罗素悖论使整个数学大厦动摇了。当弗雷格已经完成他的关于算术基础的两册巨著算术的基本法则的最后一册时，罗素通信告诉了他这个悖论。弗雷格在其论著的末尾以悲哀的话语写道：,“一位科学家不会碰到比这更痛苦的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当本书等待复印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地”。,于是，弗雷格终结了这不止12年的辛勤劳动。 狄德金原来打算把连续性及无理数第3版复印，这时也把稿件抽了回来。 发现拓扑学中“不动点原理”的布劳威也认为自己过去作的工作都

7、是“废话”，声称要放弃不动点原理。,罗素悖论引发了第三次数学危机！,罗素悖论的“破坏力”还不仅局限在数学领域，只要把罗素悖论的陈述略加修改，即用逻辑的术语来代替集合论中的术语，罗素悖论就可以推广到逻辑领域。 这样，罗素悖论就不仅触及到数学的基础理论本身，它涉及到了一向被认为极为严谨的两门科学-数学和逻辑学。,罗素悖论的解答,略。,几何悖论,几何悖论所构造的图案是仅存在于2维平面世界里的图形，是一种通过素描，线描等立体绘画手法表现出3维立体世界中不可能存在的图像。,“不可能台阶”是由英国遗传学家列昂尼尔S彭罗斯和他的儿子，数学家罗杰尔彭罗斯发明的，后者于1958年把它公布于众，人们常称这台阶为“

8、彭罗斯台阶”。 在这个台阶里，永远找不到最高阶和最低阶，“不可能台阶”永远没有尽头。,统计悖论,假定有三个人阿贝尔、伯恩斯和克拉克竞选总统。民意测验表明，选举人中有2/3愿意选A不愿选B，有2/3愿选B不愿选C。是否愿选A不愿选C的最多？,不一定！如果选举人下表那样排候选人，就会引起一个惊人的逆论。 三分之一的人，对选举人的喜好是：A，B，C； 另外三分之一的人，对选举人的喜好是：B，C，A； 最后三分之一的人，对选举人的喜好是：C，A，B。 所以，有2/3宁愿选A而不愿选B；同样，有2/3宁愿选B而不愿选C；有2/3宁愿选C而不愿选A！ 这条悖论有时称为阿洛悖论，肯尼思阿洛曾根据这条悖论和其

9、他逻辑理由证明了，一个十全十美的民主选举系统在原则上是不可能实现的，他因此而分享了1972年诺贝尔经济学奖金。,时间悖论之芝诺悖论（Zenos paradoxes）,芝诺悖论又名二分法悖论 运动是不可能的。 由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点，于是运动的物体会在有限时间内经过无限多点。 这个悖论可以表示为“一个人想要从A点走到B点是永远不可能的”，芝诺争辩道：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2”如此循环下去，永远不能到终点。,时间悖论之阿基里斯悖论 (Achilles paradox

10、es),阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！,我对时间悖论的理解,其实这归根到底是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是11m/s，乌龟速

11、度是1m/s,乌龟在前面100m。实际情况是阿基里斯必然会在10秒之后追上乌龟。按照悖论的逻辑，这10秒可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。但其实根本不是如此。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗？显然不是。尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。所以说，芝诺的悖论是不存在的。,概率悖论,

12、有一个半径为r的圆，在此圆内作内接正三角形，设其边长为Y。取圆任意一条弦，设其长为X；同时。请问，XY的概率是多少？ 可以算出：Y=3 r,解答一：此题等价于“从圆心到弦的距离Y的概率为1/2,解答二：在圆周上取任意一点A作为弦的一个端点，另一端点沿圆周运动构成一系列弦。显然，其中所有与过A点的圆切线构成大于60度角且小于120度角的一部分弦是满足题目要求的，从角度关系容易得知，此部分弦占所有弦的1/3 因此，XY的概率为1/3,解答三：考虑弦的中点，根据解答一中的“等价于”容易得知，若弦中点位于半径为r/2的同心小圆内，则弦长满足题意要求。很明显，小圆面积为大圆的1/4 因此，XY的概率为1/4,悖论思维之意义,悖论思维是一种积极的探索性思维。 一个概念、一种学说中存在悖论，一般并不意味着这个概念、这种学说是完全错误的，而往往是反映了它们的不完整性，应用范围的限定性，应用的有条件性。 悖论不是存在于现实中，而是存在于我们对现实的认识和表述中，但这两者不可能分开。如果没有人类，世界仍然存在，但是却没有意义，意义正是人类认识的结果。,我们的知识体系、