相似三角形复习课好.ppt

1、相似三角形复习(1),4、如图，已知CA=8,CB=6，AB=5， CD=4，点E是BC上一点。(1)若CE= 3，则DE=_.,(2)若CE= ，则DE=_.,1、如图, AB与CD相交于点P, A=D, 若PA3, PB=4, PC=2, 则PD=_,2、如图，在ABC中，D为AC边上一点DBC= A，BC= ，AC=3，则CD的长为_,题组一：热身训练,2.5,6,3、如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点若AD = 3，BC = 9，则GO : BG = _,2,1：2,其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项，,线段 a、d 叫做比例外项，,线段 b、c 叫做比

2、例内项，,比例的性质：,一.比例线段,3x=5y,a,d,b,c,交换内项,交换外项,3,5,1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d= .,6,2、下列各组线段的长度成比例的是（ ）,A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5,C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4. D .1 , 2 , 2 , 4,D,6,5,3、,4、已知 ： x：(x+1)=(1x)：3，求x。,.,定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。,二.相似三角形的定义：,1.形状一样；大小不一定重合； 2.全等是相似的特例：相似比为1。,三.平行

3、线分线段成比例定理：,两条平行线被第三条直线所截： 上线段（AE与EB）、下线段CF与DF）、 全线段（AB与CD ）之间对应成比例线段。,上,上,下,下,全,全,梯形平行,三角形平行,2、判定定理1:两个角对应相等,两三角形相似。 3、判定定理2:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 4、判定定理3:三边对应成比例，两三角形相似。 5、相似三角形的传递性。,反思回顾一： 判定两个三角形相似的主要方法：,1、预备定理： DEBC, ADEABC。,反思回顾二 ： 相似三角形的性质：,1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。 2、相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。 3

4、、相似三角形对应边上的高线、中线、对应角平分线之比都等于相似比。,三、相似图形的特例图形的位似,1.如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.,2.性质： 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.,3.如何作位似图形(放大).,5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.,4.如何作位似图形(缩小).,提炼总结 ： 相似三角形中常用基本图形：,A字型,斜截型,公共边角型,提炼总结 ： 相似三角形中常用基本图形：,A字型,斜截型,公共边角型,X型,提炼总结 ： 相似三角形中常用基本图形

5、：,A字型,斜截型,公共边角型,双垂直型,X型,三垂直型,蝴蝶型,2.如图，已知AB是O的直径，C是圆上一点，且CDAB于D,AD=3,BD=12，则CD=_.,6,O,C,D,B,A,1.如图，已知O的两条弦AB、CD交于E，AE=BE=6,ED=4，则CE=_.,9,相似基本图形的构造,题组二：,探究发现,蝴蝶型,双垂直型,如图,O是ABC的外接圆,AB=AC. 求证:AB2=AEAD,证明：连接BD,AB=AC,ADB=ABE,又BAD=EAB,ABDAEB,AB2=AEAD,相似基本图形的构造,探究发现,练习：,构造所需的相似基本图形，是我们常用的一种解决几何问题的方法。,公共边角型,

6、题组三：,探究发现,复杂图形 基本图形,分解,3、如图,AC是 ABCD的对角线,且AE=EF=FC, 求（1）SAMF: SCNF （2）SDMN: SACD 。,X型,3、如图:在RtABC中,C为直角,CDAB于点 D,AD=4，BD=1，则CD= AC=,ABC ACD CBD,AC2 =ADAB,CD2 =ADBD,BC2 =BDAB,ACBC=ABCD,（2011杭州中考题）梯形ABCD中，ABCD，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F。若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H， 求 的值。,中考链接,探究发现,复杂图形 基本图形,

7、分解,从复杂图形中分解出相似基本图形，可以使我们较快找到解题思路。,如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC如图放置，OA=8，AB=6，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转 度得到四边形OABC ，此时OA，BC分别与直线BC相交于点P，Q，当矩形OABC的顶点B落在y轴正半轴上时， 求（1）点P坐标 （2）,的值。,复杂图形 基本图形,分解,背景-坐标系,探究发现,题组四：,如图，已知抛物线的对称轴为直线X=4.且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点, A(2,0),C(0,3) （1）求此抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点P，满足 PBC=90，求点P的坐标；,2,3,Q

8、,背景-抛物线,复杂图形 基本图形,分解,（3）在（2）的条件下，问在y轴上是否存在点E，使得以A、O、E为顶点的三角形与OBC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.,探究发现,题组四：,构造基本相似图形转化问题,学会从复杂图形中分解出基本图形,2、相似基本图形的运用,分类思想,课堂要点：,转化思想,1、相似三角形的判定和性质。,挑战自我,如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？,N,M,Q,P,E,D,C,B,A,解：设正方形PQMN是符合

9、要求的ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。 因为PNBC，所以APN ABC 所以,例1 、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CDAB,BEAC,CD与BE相交于点O，图中有哪些三角形相似？,连接DE、BC，图中又有哪些相似,练习、ADE和ABC有公共顶点A，1= 2， ABC= ADE,试说明（1） ADEABC （2） ABDACE,例2、在ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2, 在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与 ABC相似,求AF长,课后练习,相似基本图形的构造,探究发现,如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，求AF：

10、FC的值。,如图, 在ABC中,ACB= 900，四边形BEDC为正方形, AE交BC于F, FGAC交AB于G. 求证: FC=FG.,证明: 四边形BEDC为正方形,CFDE ，DE=BE,ACFADE, ,又FG ACBE,AGFABE, ,由可得：,又 DE=BE,FC=FG,ABC 中，AD平分BAC，求证：,考考你,相似基本图形的构造,探究发现,已知：如图，ABC内接于O，AB为直径，弦CEAB于F，C是弧AD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q （1）求证：CP=PQ （2）求证（FP+PQ）2=PF FG,背景-圆,复杂图形 基本图形

11、,分解,探究发现,A字型,蝴蝶型,公共边角型,双垂直型,三垂直型,斜截型,X型,C,B,A,D,E,连结AD、CB， APDCPB吗？,相似三角形复习课,2.比例中项：,练习：,当两个比例内项相等时，,那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.,知识要点,3.黄金分割：,练习：,4,黄金三角形,D,E,F,顶角为36的等腰三角形 叫做黄金三角形,图中有多少个黄金三角形？,找出图中线段的黄金分割点？,黄金矩形,把线段AC黄金分割,分割点为B,则以AB、BC为邻边的矩形ABCD叫做黄金矩形,即黄金矩形的两条邻边长度的比值约为0.618.,F,E,若在黄金矩形ABCD中画出正方形ABEF,则得

12、到黄金矩形ECDF,如此继续下去 可得到一连串的 黄金矩形,1.相似三角形的定义：,对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。,2.相似比：,相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。,练习：,二.相似三角形,知识要点,ABCA/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么A/B/C/与 ABC的相似比为_.,3.相似三角形的判定方法,预备定理:,相似三角形的传递性.,判定定理1,2,3.,1 2,2 3或2 3,1 3,DEBC, ADEABC.,直角三角形相似的判定.,求证：ACDABCCBD.,已知：ACB=Rt,CDAB于D,相似三角形基本图形的回顾：,现在给你一个锐角三

13、形ABC和一条直线MN 问题：请同学们利用直线MN 在ABC上或在边的延 长线作出一个三角形与 ABC相似，并请同学 们说明理由,A,B,C,M,N,第一种作法： 理由： （1）DEBC （2）ADE=B 或AED=C （3）AD：AB=AE：AC 第二种作法： 理由： （1） ADE=C 或AED=B （2）AE：AB=AD：AC,A,E,B,C,D,A,D,E,B,C,M,第三种作法： 理由： （1）DEBC （2）ADE=B 或AED=C （3）AD：AB=AE：AC 第四种作法： 理由： （1） ADE=C 或AED=B （2）AE：AB=AD：AC,A,B,C,E,D,A,B,C,E

14、,D,M,N,M,N,第五种作法： 理由： （1）DEBC （2）ADE=ABC 或AED=ACB （3）AD：AB=AE：AC 第六种作法： 理由： （1） ADE=ACB 或AED=ABC （2）AE：AB=AD：AC,A,B,C,A,B,C,D,E,M,N,M,D,E,N,第七种作法：,（1）ACD=B （2）ADC=ACB （3）AD：AC=AC：AB,A,B,D,C,M,N,A,D,E,B,A,C,B,A,B,C,D,ADE绕点A,旋转,D,C,A,D,E,B,C,A,B,C,D,E,B,C,A,D,E,点E移到与C点,重合,ACB=Rt,CDAB,相似三角形基本图形的回顾：,证明：

15、CDAB， E为AC的中点 DE=AE EDA=A EDA=FDB A=FDB ACB= Rt A=FCD FDB=FCD FDBFCD BD：CD=DF：CF BDCF=CDDF,例1 如图，CD是RtABC斜边上的高，E为AC的中点， ED交CB的延长线于F。,C,E,A,D,F,B,这个图形中有几个相似三角形的基本图形,求证：BDCF=CDDF,二.知识应用:,1.找一找:,(1) 如图1,已知:DEBC,EF AB,则图中共有_对三角形相似.,(2) 如图2,已知:ABC中, ACB=Rt ,CD AB于D,DEBC于E,则图中共有_个三角形和ABC相似.,3,4,(3)如图3，1=

16、2= 3,则图中相似三角形的组数为 _.,4,2.画一画:,如图,在ABC和DEF中, A=D=700, B=500, E=300,画直线a,把ABC分成两个三角形,画直线b ,把DEF分成两个三角形,使ABC分成的两个三角形和DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标注数据),300,300,200,200,(1).如图,在水平桌面上的两个“E”,当点P1,P2,O在一条直线上时,在点O处用号“E”测得的视力与用号“E”测得的视力相同. 图中b1,b2,c1,c2应满足怎样的关系? 若b1=3.2cm,b2=2cm, 号“E”测试的距离c1=8m,要使测得的视力相同, 号“E”测试的距离c2应

17、为多少?,3.做一做:,(2).已知,如图,梯形ABCD中,ADBC, A=900,对角线BDCD求证:(1) ABDDCB; (2)BD2=ADBC,(3).如图,P是ABC中AB边上的一点,要使ACP和ABC相似,则需添加一个条件:_ 。,ACP=B;,或APC=ACB;,或AP:AC=AC:AB即AC2=APAB,如图,点C,D在线段AB上, PCD是等边三角形.(ACBD) (1)当AC,CD,DB满足什么关系时, ACP PBD. (2)当ACP PBD时,求APB的度数.,4.想一想:,5.练一练:,1.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子,假设图形中的所有点,线都在

18、同一平面内,试写出一对相似三角形(不全等)_.,2.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则当CN=_时，CMN与ADE的形状相同。,3.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，3）, C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与ABC相似，则点P的坐标是_.,P,6. 如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的距离是6m，假设球扬直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？,解：,ABO=CDO=90,AOB=COD,AOBCOD, CD=

19、5.4m,答：球能碰到墙面离地5.4m高的地方,.如图, ABC中,AB=6,BC=4,AC=3,点P在BC上运动,过P点作DPB=A,PD交AB于D,设PB=x,AD=y. (1)求y关于x的函数关系式和x的取值范围. (2)当x取何值时,y最小,最小值是多少?,6.思考题:,挑战自我,如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？,N,M,Q,P,E,D,C,B,A,解：设正方形PQMN是符合要求的ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫

20、米。 因为PNBC，所以APN ABC 所以,两个多边形的对应顶点的连线交于一点，对应边 平行，位似图形是相似图形,什么是位似图形？,应用位似的性质：能将一个图形放大或缩小，,三角形相似条件复习,1、已知ABC，P是AB上一点，连结CP，要使ACPABC，可以添加的条件是什么？,复习回顾,(1) ACP= B,(2) APC= ACB,(3),2、在44的正方形方格中，设小正方形边长为1，A 1B 1C 1与A2 B 2C2相似吗？你是如何判断的？,A1B1=1 A1C1= B1C1=,A2B2= A2C2= 5 B2C2=,判定相似三角形的条件：,1、两角对应相等； 2、两边对应成比例且夹角

21、相等； 3、三边对应成比例。,3、如图，四边形ABCD是平行四边形，图中有哪些相似三角形？,4、平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交；所构成的三角形与原三角形相似,判定相似三角形的条件,“A”型,在ABC中，DEBC，则有,ADEABC,“X”型,在ABC中，ABCD，则有,ABODCO,基本图形,基础训练,1下列条件中，能判定ABC和DEF相似的有( ) A=45，AB=12，AC=15 D=45，DE=16，DF=40 AB=12，BC=15，AC=24，DE=20，EF=25，DF=40 A=47，AB=15，AC=20，E=47，DE=28，EF=21 A=45B=5

22、5D=45F=75,2、下列命题中正确的是（ ） 任意两个等腰三角形都相似 任意两个直角三角形都相似 任意两个等边三角形都相似 任意两个等腰直角三角形都相似 A、 B、 C、 D、 ,D,3、如图:在RtABC中,C为直角,CDAB于点 D,AD=4，BD=1，则CD= AC=,ABC ACD CBD,AC2 =ADAB,CD2 =ADBD,BC2 =BDAB,ACBC=ABCD,4、如图，在ABC中，点D在边AB上，AC=2，AD=1，当DB= 时ABC ACD,5、如图1,已知:DEBC,EF AB,则图中共有_对三角形相似. 6、如图，点0是ABC内一点，点D、E、F分别边OA、0B、0

23、C是的中点，问 ABC与DEF相似吗？,A,D,E,B,A型,C,A,D,E,B,C,A,B,C,D,B,C,A,D,E,点E移到与C点,重合,ACB=Rt,CDAB,相似三角形基本图形的回顾：,X型,例1 、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CDAB,BEAC,CD与BE相交于点O，图中有哪些三角形相似？,连接DE、BC，图中又有哪些相似,练习、ADE和ABC有公共顶点A，1= 2， ABC= ADE,试说明（1） ADEABC （2） ABDACE,例2、在ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2, 在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与 ABC相似,求AF长,拓

24、展提优,1、如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F求证：BP2PEPF,2、已知:如图,CE是RtABC的斜边AB上的高,BGAP。 求证:CE2 =EDEP,3、 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边 BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF EG .,分析：要证明 EA2 = EF EG ， 即 证明 成 立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：AEDFEB， AEB GED.,证明： ADBF ABBC AED FEB AEB G

25、ED,谢 谢,在ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟BPQ与BAC相似？,练一练,2、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N 求证（1）AG=CG； （2）ANDN=CNMN,相似三角形中的基本图形,濮阳市第一中学王彦锋,给你一个锐角三角形ABC和一条直线MN；,问题,你能用直线MN去截三角形ABC，使截得的三角形 与原三角形相似吗？,练一练,基本图形,D,E,H,过D作DHEC交BC延长线于点

26、H,(1)试找出图中的相似三角形?,(2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=_;,(3)若ABC的周长为4,则BDH的周长为_.,(4)若ABC的面积为4,则BDH的面积为_.,ADE ABC DBH,2：3,6,9,相似三角形,若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3,试求AF:FB的值.,添平行线构造相似三角形的基本图形。,D,E,H,G,F,M,N,1,2,相似三角形,若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3,试求AF:FB的值.,添平行线构造相似三角形的基本图形。,E,G,F,M,N,相似三角形,E,G,F,相似三角形,BC是圆O的切线，切点为C.,(

27、1) BCF与BAC相似吗?,(2) 若BC=6,AF=5,你能求出BF的长吗?,(3) 移动点A,使AC成为O的直径,你还能 得到哪些结论?,E,若ACB90，CFAB，,则ACF ABC CBF,当BCF A 时， BCF BAC.,F,B,C,A,(-3,0),(1,0),tanABC=,（1）请在x轴上找一点D，使得BDA与BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标；,（2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上 的动点，连结PQ，设BPDQm， 问：是否存在这样的m，使得BPQ与BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。,用一用,O,D,（1）BDABAC

28、CADABC tanCADABC= BC=4 AC=BCtan ABC=3 CD=ACtan CAD=3 = OD=OC+CD=1+ = D( ,0),用一用,P,Q,P,Q,小结：相似三角形中的基本图形,三、相似图形的特例图形的位似,1.如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.,2.性质： 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.,3.如何作位似图形(放大).,5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.,4.如何作位似图形(缩小).,线 段 的 比,黄金 分 割,形状 相 同

29、的图形,相似三 角 形 及其 判定条件的 探索,相似多边形,多边形的性质,图形的放大与缩小,相似的综合应用 测量旗杆的高度,1,如图,添加一个条件,使则ABCAED,则这条件可以是 .,练习,2下列说法正确的是（ ） A 所有的等腰三角形都相似 B所有的直角三角形都相似 C所有的等腰直角三角形都相似 D有一个角相等的两个等腰三角形都相似,2、在ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，则各对相似三角形的相似比分别是多少？面积的比呢？,3、两个相似三角形的面积比是9：25，那么它们的相似比是_对应边上的高的比是_，周长之比是_。,3：5,3：5,3：5,4、如图，ABC,DE/BC，且ADE的

30、面积等于梯形BCED的面积，则ADE与ABC的相似比是_,1：2,5.ABC中，DEBC，EFAB，已知ADE和EFC的面积分别为4和9，求ABC的面积。,6.如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中点得四边形A1B1C1D1，再顺次连接A1B1C1D1得到四边形A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 。,练习,7.在AB=20米,AD=30米的矩形ABCD的花坛四周修筑小路: (1)如果四周的小路的宽均相等,那么小路四所围成的矩形和矩形ABCD相似吗?请说明理由 (2)如果相对两条小路的宽均相等,试问小路的宽x与y的比值

31、为多少时,能使小路四周所围成矩形和矩形ABCD相似?请说明理由.,8如图， ABCD中，E为AD的中点，若 S ABCD=1，则图中阴影部分的面积为( ) A B C D,C,当堂训练,9.已知,ABCDEF， （1）图中有几对相似的三角形？ （2）线段AB、CD与EF有怎样的等量关系？,比一比,10.如图，这是由三个全等的正方形组成的广告牌。你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由（全等三角形除外）,1+ 2+ 3 度,11、RtABC中， ACB90 ，CDAB于D。 （1）写出图中所有的相似三角形，并选择其中一对说明理由。 （2）若AD1cm, BD4cm,请你求出CD的长度。,范例,例1

32、 如图，已知：DE BC，DC和BE相交于P点，连结AP交DE于M，延长AP交BC于N点，求证：DM=ME，BN=NC。,分析：,同理可证：BN=NC,范例,例2 如图，已知EM AM，交AC于D，CE=DE，求证：2ED DM=AD CD。,分析：,E,C,D,M,A,F,例3.如图：在ABC中， C= 90,BC=8,AC=6.点P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问： 经过多少秒时CPQ CBA;, 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与ABC相似？,例4：阳光明媚的一天,数学兴趣

33、小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺、标尺、一副三角板、小平面镜。请你在他们提供的测量工具中选出工具，设计一种测量方案)（1）所需的测量工具是：； （2）请在下图中画出测量示意图； （3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x,范例,分析：,(1)由题意知，易得ABC ADE,得y与x的函数关系式。,现有一块三角形余料ABC，它的一边BC=12cm，高线AD=8cm. E为AB上一动点(E不与A、B重合)，且EFBC交AC于点F ，以EF为边向下做一个正方形EFGH，设正方形EFGH与三角形ABC的重合部分面积为y,

34、EF=x.求 (1)当HG落在BC上时,求x,议一议,(2)当HG不落在BC边上时,求y关于x的关系式,有一批形状相同的不锈钢片，呈直角三角形，如图（1）所示，已知A=90，AB=8cm，BC=10cm，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，如图，甲、乙各设计一种方案，你觉得哪种方案更好，为什么？,如图（1）,甲,乙,变 一 变,M,N,拓展,A,C,P,B,R,T,例2 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的55的方格纸中，如果想作格点ABC与OAB相似(相似比不能为1)，则C点坐标为_,1,2,C1(5，2),5,C2(4，4),例3、

35、在直径为AB的半圆内，划出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，现要建造一个内接于三角形ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图设计方案是使AC=8，BC=6，求 (1)三角形AB边上的高线CH。 (2)设DN=x,NF=y,求y关于x的函数解析式。 (3)当x为何值时，水池DEFN的面积最大， 最大为多少？,H,G,练习（2003，潍坊）在RtABC中， C=90。，AC=4，BC=3，,（1）如图1，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长。,练习（2003，潍坊）在RtABC中， C=90。，AC=4，BC=3，,（2）如图2，三角形内有并排的两个相等

36、的正方形，它们组成的矩形内接与ABC，求正方形的边长,（1）如图1，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长。,练习（2003，潍坊）在RtABC中， C=90。，AC=4，BC=3，,（3）如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长。,（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接与ABC，求正方形的边长,（1）如图1，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长。,练习（2003，潍坊）在RtABC中， C=90。，AC=4，BC=3，,（4）如图4，三角形内有并排的个正方形，它们组成的矩形内节于ABC，请写出正

37、方形的边长。,正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直,（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当点M运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；,（3）当点M运动到什么位置时 Rt ABM Rt AMN求x的值,练习,相似三角形（1-2）,一.比例线段,1. 成比例的项：,那么a、b、c、d四个数叫做成比例的项。,其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项，,线段 a、d 叫做比例外项，,线段 b、c 叫做比例内项，,比例的性质：,3x=5y,a,d,b,c,交换内项,交换外项,3,5,1.若

38、a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d= .,6,2、下列各组线段的长度成比例的是（ ）,A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5,C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4. D .1 , 2 , 2 , 4,D,6,5,3、,4、已知 ： x：(x+1)=(1x)：3，求x。,.,定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。,二.相似三角形的定义：,1.形状一样；大小不一定重合； 2.全等是相似的特例：相似比为1。,三.平行线分线段成比例定理：,两条平行线被第三条直线所截： 上线段（AE与EB）、下线段CF与DF）、 全线

39、段（AB与CD ）之间对应成比例线段。,上,上,下,下,全,全,梯形平行,三角形平行,相似三角形的识别方法有那些？,方法4：AA法:两角对应相等。,方法1：平行相似法:平行于三角形一边的直线。,方法2：SSS法:三边对应成比例。,方法3：SAS法:两边对应成比例且夹角。,四.相似三角形的判定方法：,方法5：HL法： Rt三角形直角边与斜边对应成比例。,1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。,2 .相似三角形对应高线比，对应中线比，对应角平分线比等于相似比。,3.相似三角形周长比等于相似比。,五.相似三角形的性质：,4.相似三角形面积比等于相似比的平方。,基本图形1,D,E,H,过D作DHEC

40、交BC延长线于点H,(1)试找出图中的相似三角形?,(2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=_;,若ABC的周长为4,则BDH的周长为_.,若ABC的面积为4,则BDH的面积为_.,ADE ABC DBH,2：3,6,9,“平行相似”型,相似三角形,若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3,试求AF:FB的值.,添平行线构造相似三角形的基本图形。,E,G,F,M,N,基本图形2,“A”字型,(1)当ADEC 时， ADEACB.,(2)当AEDB 时， ADEACB.,(3)当ADABAEAC 时， ADEACB.,“A”字型,添加一个条件使得：ADE ACB.,基本图形3,

41、“交叉蝴蝶”型,(1)当DA时， ACEDBE.,(2)当CB 时， ACEDBE.,(3)当AEEBCEED时， ACEDBE.,添加一个条件使得：ACE DBE.,基本图形3,“旋转重叠”型,(1)当DB; 12时， ABCADE.,(2)当CE; 12时， ABCADE.,(3)当AB:ADAE:AC时， ABCADE.,基本图形4,添加一个条件使得：ACD ABC.,“公共边角”型,(1)当ADCACB时， ACDABC.,(2)当ACDB 时， ACDABC.,(3)当AC2ADAB 时， ACDABC.,3.三个平方式： CD=ADBD; BC=BDAB; AC=ADAB.,基本图

42、形5,“Rt斜边高”型,2.三者相似： ABCACDCBF,1.交叉等角： A=BCD; B=ACD., O,相似的基本图形,AB2=BDBC,小结：相似三角形中的基本图形,(1) 若BC=6,AF=5,你能求出BF的长吗?,当BCF A 时， BCF BAC.,(2) BC是圆O的切线，切点为C.,(3) 移动点A,使AC成为O的直径,你还能 得到哪些结论?,则ACF ABC CBF,基本图形2,BF=4,B,C,A,(-3,0),(1,0),tanABC=,（1）请在x轴上找一点D，使得BDA与BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标；,（2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、B

43、D上 的动点，连结PQ，设BPDQm， 问：是否存在这样的m，使得BPQ与BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。,用一用,O,D,（1）BDABAC CADABC tanCADABC= BC=4 AC=BCtan ABC=3 CD=ACtan CAD=3 = OD=OC+CD=1+ = D( ,0),用一用,P,Q,P,Q,有公共角B,“A”型相似,A,B,C,E,F,如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合）AEF=90.观察图形：,D,A,B,C,E,F,D,（2）若E为BC的中点，连结AF,图中有哪些相似三角形？,（1） ABE 与ECF 是否相似

44、？并证明你的结论。,问题发现 知识整理,ABE ECF, AEF,问题：,（1）点E为BC上任意一点，若 B= C=60, AEF= C,则ABE与 ECF的关系还成立吗？说明理由,（2）点E为BC上任意一点若 B= C= , AEF= C,则ABE 与 ECF的关系还成立吗？,A,B,F,C,E,60,60,60,“M”型相似,问题发现 知识整理,ABE ECF,变式：.直角梯形ABCF中,B90,CB=14，CF=4, AB=6, CFAB,在边CB上找一点E,使以E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点的三角形相似，则CE=_,1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点

45、E重合，若AD=10, AB= 8, 则EF=_,善于在复杂图形中寻找基本型,5,A,D,B,C,E,F,E,E,E,5.6或2或12,注意分类讨论的数学思想,实战演练 知识运用,E,B,C,D,F,2.已知：D为BC上一点， B= C= EDF=60, BE=6 , CD=3 , CF=4 , 则AF=_,7,A,实战演练 知识运用,如图，已知抛物线与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点,且A(2,0),C(0,3) （1）求此抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点P，满足 PBC=90，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，问在y轴 上是否存在点E，使得以A、O、E 为顶点的三角形与PB

46、C相似？若 存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.,Q,6,分类思想,迁移拓展 知识提升,构造相似图形间接求,已知相似图形直接求,相似基本图形的运用,方程思想,分类思想,学会从复杂图形中分解出基本图形,整体思想,转化思想,我的收获,善于观察 善于发现 善于总结,再见！,例1如图，梯形ABCD中,ADBC，ABC=90,AD=9,BC=12，AB=10，在线段BC上任取一点P，作射线PEPD，与线段AB交于点E.（1）试确定CP=3时点E的位置；,过D作DHBC于H，由题意，得CH=3,又CP=3P与H重合,从而E与B重合,（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.,友情提醒：要善于构造基本图形，对你的解题会起到事半功倍的效果！,实战演练 知识运用,相似三角形专题复习,遄台中学 延伟红,A,B,C,E,F,如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合）AEF=90.观察图形：,D,A,B,C,E,F,D,（2）若E为BC的中点，连结AF,图中有哪些相似三角形？,（1） ABE 与ECF 是否相似？并