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文档简介
1、2.2.2等差数列前n项和公式 的性质及其应用,1,思(2分钟),an1an12an(n2),an an1d(n2),在结构上是关于n的一次函数.,ana1(n1)dam(nm)dpnk.,1.等差数列的递推公式是什么?,2.等差数列通项公式是什么?结构上它有什么特征?,2,3.等差数列前n项和的两个基本公式是什么?,3,思考1:若数列an的前n和 那么数列an是等差数列吗?,an是等差数列,知识探究(一)等差数列与前n项和的关系,议(5分钟),4,思考2:将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数,这个函数有什么特点?,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数.,5,思考3:一般地,若数列a
2、n的前n和SnAn2Bn,那么数列an是等差数列吗?若SnAn2BnC 呢?,(1)数列an是等差数列 SnAn2Bn,(2)数列an 的前n项和是SnAn2BnC ,则:,若C0,则数列an是等差数列;,若C0,则数列an从第2项起是等差数列。,6,思考4:若an为等差数列,那么 是什么数列?,数列an是等差数列 为等差数列,即等差数列an的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列,且公差是数列an的公差的一半。,7,学以致用,2.等差数列an中,Sn是其前n项和,a12011, ,则S2011的值为() A.0 B.2011 C.2011 D.20112011,C,8,知识探究(二)等差数列
3、前n项和的性质,思考1:在等差数列an中,每连续k项的和组成的数列,即数列a1a2ak, ak+1ak+2a2k, a2k+1a2k+2a3k, 是等差数列吗?,性质:若数列an是等差数列,那么数列Sk,S2kSk, S3kS2k , 仍然成等差数列,9,思考3:在等差数列an中,设S偶a2a4a2n, S奇a1a3a2n1,则S偶S奇与 等于什么?,S偶S奇nd,思考2:在等差数列an中,Sn,S2n,S3n三者之间有什么关系?,S3n3(S2nSn),10,3. 等差数列an中,已知S42, S87,则S12=_;,学以致用,15,4. 等差数列an的前m项的和为30,前2m项的和 为10
4、0,则它的前3m项的和为 () A. 130 B. 170 C. 210 D. 260,c,11,思考4:设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、 Tn,则 等于什么?,思考5:在等差数列an中,若a10, d0,则Sn是否存在最值?如何确定其最值?,当ak0,ak10时,Sk为最大.,12,且 ,则,.,例2:Sn,Tn分别是等差数列an、bn的前n项的和,,学以致用,13,1.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且 ,则使得 为整数的正整数n的个数是() A2 B3 C4 D5,变式探究,D,14,【题型分类 深度剖析】,题型1:等差数列前n项和性质的简单应用,例1:(
5、1)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则该数列有( )项。 A.13 B.12 C.11 D.10,A,15,变式探究,1.已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0,则有( ) A.a1+a1010 B.a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=51,2.等差数列an 前n项和Snan2(a1)na2, 则an .,C,16,题型2:等差数列最值问题,例2:等差数列an中,a10,S9S12,该数列前多少项的和最小?,又nN*,n10或n11时,Sn取最小值,17,18,小结:求等差数列an前n项和Sn的最值常用方法:,方法1:二次
6、函数性质法,即求出Sn=an2+bn, 讨论二次函数的性质,方法2:讨论数列an 的通项,找出正负临界项。,(1)若a10,d0,则Sn有大值,且Sn最大时的n,满足an0且an+10;,(2)若a10,则Sn有小值,且Sn最小时的n,满足an0且an+10;,19,变式探究,1.首项为正数的等差数列an,它的前3项和与前11项和相等,则此数列前_项和最大?,2.等差数列an 前n项和Sn中,以S7最大,且|a7|0的n的最大值为_,3.等差数列an中,已知|a7|=| a16|=9,且a14=5,则使 an0的最大自数n=( ) A.10 B.11 C.12 D.13,7,13,20,例4:
7、已知数列an的前n项和Sn12nn2,求数 列|an|的前n项和Tn.,当n1时,a1S1121211;当n2时, anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n. n1时适合上式,an的通项公式为an132n. 由an132n0,得n , 即当1n6(nN*)时,an0; 当n7时,an0.,解析:,题型3:求等差数列的前n项的绝对值之和,21,(1)当1n6(nN*)时, Tn|a1|a2|an|a1a2an12nn2.,(2)当n7(nN*)时,Tn|a1|a2|an| (a1a2a6)(a7a8an) (a1a2an)2(a1a6) Sn2S6n212n72.,22,变式探究,1数列an中,a18,a42,且满足 an22an1an0,nN*. (1)求数列an的通项; (2)设Sn|a1|a
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