3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.pptx

1、3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,三维目标,1知识与技能 (1)了解导数公式的推导过程； (2)掌握基本初等函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则； (3)能运用基本初等函数的导数公式计算有关的导数 2过程与方法 通过本节的学习，掌握求导数的方法 3情感、态度与价值观 通过本节的学习，培养学生对问题的分析能力与认知能力，提高数学的应用意识,重点难点,重点 基本初等函数的导数公式及导数运算法则 难点 利用基本初等函数的导数公式计算有关的导数,教学建议,教学中要注意以下问题： (1)对于用定义比较难求的导数不需要学生去推导，而是让学生能利用书中给出的基本初等函数的导

2、数公式和导数运算法则解决简单的函数求导问题； (2)要让学生熟练掌握求导公式，并正确理解求导法则，特别是商的求导法则,新课导入,导入一 创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出 某些函数的导数，这一节我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数(给出实例),备课素材,预习探究,0,知识点一几个常用函数的导数 1.函数f(x

3、)=c的导数是f(x)=; 2.函数f(x)=x的导数是f(x)=; 3.函数f(x)=x2的导数是f(x)= ; 4.函数f(x)= 1 的导数是f(x)= .,1,2x,- 1 2,预习探究,知识点二基本初等函数的导数公式 1.若f(x)=c,则f(x)=; 2.若f(x)=x(Q*),则f(x)=; 3.若f(x)=sin x,则f(x)=; 4.若f(x)=cos x,则f(x)=; 5.若f(x)=ax,则f(x)=(a0); 6.若f(x)=ex,则f(x)=; 7.若f(x)=loga x,则f(x)=(a0,且a1); 8.若f(x)=ln x,则f(x)=.,0,x-1,co

4、s x,-sin x,axln a,ex,1 ln,1 ,预习探究,思考 函数f(x)=logax(a0,且a1)与f(x)=ln x的导数公式之间有什么内在联系?,解:函数f(x)=logax(a0,且a1)的导数公式为f(x)=(logax)= 1 ln ,当a=e时,上述公式就变为(ln x)= 1 ,即f(x)=ln x是f(x)=logax当a=e时的特殊情况.类似地,还有f(x)=ax与f(x)=ex.,预习探究,知识点三导数运算法则 若f(x),g(x)为可导函数,且g(x)0,则有: (1)f(x)g(x)= ; (2)f(x)g(x)= ,特别地,cf(x)=; (3) ()

5、 () =.,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),cf(x),()()()() () 2,预习探究,讨论 f(x)g(x)=f(x)g(x); () () = () () ;af(x)bg(x)=af(x)bg(x)(a,b为常数);当f(x)=1时,则有 1 () =- () () 2 (g(x)0).以上四个等式成立吗?,解:两式不成立,成立.,预习探究,思考两个函数和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),这个法则可由两个推广到任意有限个可导函数的和(或差)的导数,即(u1u2un)= .,u1u2un,备课素材,备课素材,备课素材,3应用基本初等函数的导数公

6、式和求导的四则运算法则，可迅速解决一些简单的求导问题要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导,考点类析,考点一根据导数公式和导数运算法则求函数的导数,例1 求下列函数的导数: (1)y=x12; (2)y= 1 4 ; (3)y= 5 3 ; (4)y=2sin 2 cos 2 ; (5)y=lo g 1 2 x; (6)y=3x.,解：(1)y=(x12)=12x12-1=12x11. (2)y=(x-4)=-4x-4-1=-4x-5=- 4 5 . (3)y=( 5 3 )=( x 3 5 )=

7、 3 5 3 5 1 = 3 5 2 5 = 3 5 5 2 . (4)y=2sin 2 cos 2 =sin x,y=cos x. (5)y= g 1 2 = 1 ln 1 2 =- 1 ln2 . (6)y=(3x)=3xln 3.,考点类析,例2 求下列函数的导数: (1)f(x)= 1 3 ax3+bx2+c; (2)f(x)=xln x+2x; (3)f(x)= 1 +1 ; (4)f(x)=x2ex.,解：(1)f(x)= 1 3 3 + 2 + = 1 3 3 +(bx2)+c=ax2+2bx. (2)f(x)=(xln x+2x)=(xln x)+(2x)= xln x+x(l

8、n x)+2xln 2=ln x+1+2xln 2.,考点类析,例2 求下列函数的导数: (1)f(x)= 1 3 ax3+bx2+c; (2)f(x)=xln x+2x; (3)f(x)= 1 +1 ; (4)f(x)=x2ex.,(3)方法一: f(x)= 1 +1 = (1)(+1)(1)(+1) (+1 ) 2 = (+1)(1) (+1 ) 2 = 2 (+1 ) 2 . 方法二:f(x)= 1 +1 = +12 +1 =1- 2 +1 , f(x)= 1 2 +1 = 2 +1 =- 02(+1) (+1 ) 2 = 2 (+1 ) 2 . (4)f(x)=(x2ex)=(x2)e

9、x+x2(ex)=2xex+x2ex=ex(2x+x2).,考点类析,考点二导数几何意义的综合应用,斜率,导入 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的.也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率是.相应地,切线方程为 .,f(x0),y-f(x0)=f(x0)(x-x0),考点类析,例3 (1)设曲线y= +1 1 在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a的值为() A.2B.-2 C.- 1 2 D. 1 2,答案 B,解析 y= +1 1 ,y=- 2 (1 ) 2 ,y|x=3=- 1 2 ,

10、即切线斜率为- 1 2 .切线与直线ax+y+1=0垂直,直线ax+y+1=0的斜率为2,-a=2,即a=-2.,考点类析,例3 (2)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-4的最小距离为.,答案 2 2,解析 点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,当过点P的切线和直线y=x-4平行时,点P到直线y=x-4的距离最小.直线y=x-4的斜率等于1,令y=2x- 1 =1,解得x=1或x=- 1 2 (舍去),故曲线y=x2-ln x上和直线y=x-4平行的切线经过的切点坐标为(1,1),点(1,1)到直线y=x-4的距离等于2 2 ,故点P到直线y=x-4的最小距离为2

11、 2 .,考点类析,【变式】已知曲线y= 2 2 -3ln x的一条切线的斜率为-2,则该切线的方程为() A.y=-2x- 3 2 -3ln 3 B.y=-2x+ 3 2 C.y=-2x+ 21 2 -3ln 3 D.y=-2x+ 5 2,答案 D,解析 设切点坐标为(x0,y0),y=x- 3 (x0),据题意得x0- 3 0 =-2,x0=1,y0= 1 2 ,该切线的方程为y=-2x+ 5 2 .,考点类析,小结 求切线方程,关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率,结合题意列方程,求出切点的坐标.求解过程中应认真领会数学的转化思想、待定系数法.,考点类析,【拓展】已知函数f(x

12、)=ax2+bx+3(a0),其导函数f(x)=2x-8. (1)求a,b的值; (2)设函数g(x)=exsin x+f(x),求曲线y=g(x)在x=0处的切线方程.,解：(1)因为f(x)=ax2+bx+3(a0),所以f(x)=2ax+b,又f(x)=2x-8,所以a=1,b=-8. (2)由(1)可知g(x)=exsin x+x2-8x+3,所以g(x)=exsin x+excos x+2x-8,所以g(0)= e0sin 0+e0cos 0+20-8=-7,又g(0)=3, 所以曲线y=g(x)在x=0处的切线方程为 y-3=-7(x-0),即7x+y-3=0.,考点类析,考点三导

13、数的综合应用,例4 已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.,解：(1)f(x)=3x2+1,f(2)=13,所以曲线y=f(x)在点(2,-6) 处的切线方程为y+6=13(x-2),即13x-y-32=0. (2)设切点为P(x0, 0 3 +x0-16),则f(x0)=3 0 2 +1,所以直线l的方程为y-( 0 3 +x0-16)=(3 0 2 +1)(x-x0),因为直线l经过原点,所以-( 0 3 +x0-16)=-x0(3 0 2 +1),化简得2 0

14、 3 =-16,所以x0=-2,f(-2)=13,所以所求切线方程为y=13x,切点坐标是(-2,-26).,考点类析,例5 设函数f(x)=ax- ,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.,解：(1)方程7x-4y-12=0可化为y= 7 4 x-3,当x=2时,y= 1 2 .又f(x)=a+ 2 ,所以 2 2 = 1 2 , + 4 = 7 4 , 解得 =1, =3, 故f(x)=x- 3 . (2)证明:设P(x0

15、,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由f(x)=1+ 3 2 知,该曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0= 1+ 3 0 2 (x-x0),即y- 0 3 0 = 1+ 3 0 2 (x-x0).令x=0,得y=- 6 0 ,所以,考点类析,切线与直线x=0的交点坐标为 0, 6 0 .令y=x,得y=x=2x0,所以切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为 1 2 6 0 |2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.,例5 设函数f(

16、x)=ax- ,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.,备课素材,(1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较烦琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法 (2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程 在求较复杂函数的导数时，首先利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化简变形如，把乘积的形式展开，分式形式

17、变为和或差的形式，根式化为分数指数幂，然后再求导，这样可减少计算量,备课素材,备课素材,答案 D,当堂自测,1.函数f(x)= 1 在x=4处的导数是() A. 1 8 B.- 1 8 C. 1 16 D.- 1 16,解析 f(x)= 1 ,f(x)=- 1 2 ,f(4)=- 1 16 .,当堂自测,2.一物体的运动方程为s=7t2+8,则其在 t=时的瞬时速度为1.,答案 1 14,解析 物体的运动方程为s=7t2+8, s=14t,物体的瞬时速度为1, 14t=1,t= 1 14 .,当堂自测,3.函数f(x)=exln x的图像在点(1,f(1)处的切线方程是 .,答案 y=ex-e,解析 f(x)=exln x,f(x)=ex ln+ 1 ,可得曲线y=f(x)在点(1,