现代控制工程第三章1.ppt

1、第九节 无阻尼强迫振动与模态分析,步骤： 1、解特征值问题，求出各阶固有频率和振型矩阵u； 2、作坐标变换： ，可化出正则模态坐标表示的运动方程；,（3.91）,（3.92）,上式两边乘 ，导出,（3.94）,或者,（3.93）,其中 可以写成如下矩阵表达式，,（3.95）,即：,（3.96）,3、求 ，由 引起的振动,（3.97）,若综合考虑自由振动和强迫振动，则有：,（3.98）,其中各 ， 由公式确定,（3.99）,（3.910）,4、求解：,（3.911）,第十节 对基础运动的响应,3.10.1 基础位移引起的振动 如下图所示系统，列出其运动方程。,图 3.101,（3.101）,（3

2、.103）,（3.102）,(3.104),(3.105),可视为等效载荷，运动方程可以按作用力情况求解。,3.10.2 基础加速度引起的振动,(3.106),令,(3.107),将（3.107）代入（3.106）有：,（3.108）,（3.109）,（3.1010）,以上方程组可由激励为作用力情况求解， 求得 以后,( 为全1列向量 , Xg的确定要已知初始条件xg(0) ),第十一节 有阻尼多自由度系统的自由振动,3.11.1 响应的实模态理论,（3.111）,作坐标变换 ，前乘 ，有,（3.112）,其中,（3.113）,或者,（3.114）,称为模态阻尼矩阵,1、比例阻尼情况：,（3.

3、116）,（对角阵）,（3.115）,（3.117）,令第 阶模态阻尼,（3.118）,方程化为,（3.119）,其中,（3.1110）,（3.1111）,2、非比例阻尼情况 阻尼矩阵的对角化,假设系统上作用力是 用复数形式表示为 ，则有,（3.1112）,将（3.1112）展开,设各固有频率不很接近，且阻尼较小，则： 1） 外力频率与任一固有频率都不接近时，主要作用的是惯性力和外加力，此时阻尼力可略去。 2）外力频率与第r阶固有频率接近时，则在上述第r 个方程,（3.1113）,由于此时广义速度 远大于其它各广义速度，因此，其它阻尼力可略去，只考虑 一个阻尼项，注意此时的 是对角线项。,3）

4、 粘性阻尼模型本身是一种近似处理方法，忽略非对角项的影响相当于加大了求得的响应，因而这样处理偏于安全。 综上各点，阻尼矩阵的对角化并不会产生大的误差。,3、响应分析 回到方程（3.114），设阻尼矩阵已经对角化了，则,（3.1114）,（3.1115）,即：,设 ，代入上式则有,得到,其中,（3.1116）,由此可得,（3.1117）,若系统仅在第 个坐标处激振，则,(3.1118),（ 表示第 阶振型对应于第 坐标的值）,任一坐标 处的响应：,（3.1119）,上式是一个很重要的公式，它是用模态参数来表示振动的响应。通过求其虚部可以求得真正的响应。 因为：,（3.1120）,所以 （ ），取

5、虚部有,（3.1121）,可用向量相加求得。 周期力情况，方法类似；任意激励情况，杜哈美积分。,引入恒等式：,（3.1124）,（3.1123）,（3.1122）,3.11.2 一般阻尼情况响应的复模态理论,1、状态方程：,（3.1125）,简化为：,其中,2、特征值问题：先研究自由振动，令右边等于零，有,设 ， ， 可以得到：,（3.1126）,令 （3.1127）,这是关于矩阵 和 的特征方程，可求出特征值及特征向量，其中 和 均为复数形式。 对小阻尼系统，可得到 对（ 个）具有负实部的共轭复根。,若 ， 是特征值和特征向量，则 ， 也是特征值和特征向量， 且考虑到 则有：,将 特征向量的

6、顺序排列：,其中：,（3.1130）,下面证明特征向量 对 ， 的正交 正交性：,（3.1131）,（3.1132）,（3.1133）,（3.1134）,（3.1136）,上面两式两端分别前乘 和 ，得到,（3.1137）,（3.1138）,（3.1137）两边转置,（3.1139）,由特征方程可得：,（3.1135）,（3.1139）和（3.1138）两边相减有：,（3.1140）,当 时，因为 ，所以 。,当 时，,由（3.1137）和（3.1138）知道 其它三式可以类似证明。,（3.1141）,对自由振动方程 ，作变换 ，代回上式并前乘 ，得到：,即：,因为 ，所以,（3.1143）,

7、（3.1142）,3. 自由振动问题,解为：,（3.1144）,可由 解出,（3.1145）,设系统受到简谐力的作用 ，运动方程为：,其中：,设 ，则,作变换 ， 代回运动方程，并前乘 ，得到,（3.1146）,4、 简谐激励下的响应,（3.1147）,利用正交性：,（3.1148）,（3.1149）,所以,（3.1150）,若 点激振， 点测量，则：,（3.1151）,因为,第十二节 吸振器,设一机器可简化为如图3.121（a）所示的单自由度系统，其中 为机器的等效质量， 为其安装刚度或地基的刚度。,3.12.1 无阻尼吸振器,图 3.121,该系统的运动方程可以写成：,（3.121）,设

8、，将其带回上式得,设 （阻抗矩阵），带入（3.122）得,（3.123）,（3.124）,（3.122）,其中 被称为导纳矩阵。,（3.125）,求出,（3.126）,（3.127）,为了简便，引进符号： 主系统固有频率 子系统固有频率 主系统等效静态位移 质量比,则,（3.128）,（3.129）,由上两式可以看出：当 时， ，将 带入（3.129）式,（3.1210）,图3.122是一个有主系统和含有阻尼元件的阻尼吸振器构成的两自由度系统。,3.12.2 有阻尼吸振器,图 3.122,该系统的运动方程为,（3.1211）,设,（3.1212）,（3.1213）,利用与上面相同的方法可以求出,（3.1214）,（3.1215）,引入符号： ， ， 带入上式得：,（3.1216）,固定 ，如 ，以 为参数，画出 的曲线，如下图所示：,图 3.123,由图可以看出曲线交于 两点，与 无关。,