连续函数的运算和性质_第1页
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文档简介

1、第九节 连续函数的运算与性质,定理1,则,例如,故,在其定义域内连续.,反函数的连续性,定理2,单调减少)且连续,则它的反函数,也在对应,调减少)且连续.,证略,单调增加(或,单调增加(或单,例如,故,同理,反函数的连续性,定理2,单调减少)且连续,则它的反函数,也在对应,调减少)且连续.,证略,单调增加(或,单调增加(或单,同理,反函数的连续性,定理2,单调减少)且连续,则它的反函数,也在对应,调减少)且连续.,证略,单调增加(或,单调增加(或单,同理,总之,反三角函数,在它们的定义域内都是连续的.,复合函数的连续性,意义,1.,2.,定理3,且,极限符号可以与连续函数符号互换;,定理4,若

2、,连续,则有,则复合函数,复合函数的连续性,例如,例 1,求,解,例 2,求,解,例 3,求,解,因为,所以,初等函数的连续性,的;,且连续;,调且连续;,在,内连续.,在它们的定义域内是连续,初等函数的连续性,定理5,基本初等函数,定理6,一切初等函数,定义区间是指,注意,1.,但在其,定义域内不一定连续.,例如,在这些孤立点的邻域内没有定义.,及,在定义域内是连续的.,在其定义区间内都是连续的.,包含在定义域内的区间.,初等函数仅在其定义区间内连续,初等函数的连续性,在这些孤立点的邻域内没有定义.,及,在0点的邻域内没有定义,2.,定义区间).,连续.,初等函数求极限的方法(代入法),例

3、4,求,解,且,是其定义区间内的点 ,处连续 ,于是,幂指函数,因为,故幂指函数可化为复合函数.,易见:,若,则,即,注意公式成立的条件,例5,求,称为幂指函数.,解,闭区间上连续函数的性质,函数的有界性、最大值和最小值定理,定义,如果,有,例如,定理1(有界性和最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,又如,函数,定理2.零点定理与介值定理,定义,的零点.,零点定理,且,(即,即至少有,一点,使,那么在开区,几何解释:,证,由零点定理,推论,在闭区间上连续的函数,必取得介于最大值,例 6,证,证明方程,少有一个实根 .,令,又

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