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文档简介

1、几种常见函数的 导 数,一、复习,1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式导数,导数源于实践,又服务于实践.,2.求函数的导数的方法是:,说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数.,4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率.,5.求切线方程的步骤：,二、新课几种常见函数的导数,根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.,三、例题选讲,注:满足条

2、件的直线称为曲线在P点的法线.,O A x,M P,y,例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度.,故点M的运动方程为:y=10sint.,故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s.,例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由.,解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件.,由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即si

3、n2x0=2.,这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.,设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得:,故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.,例6:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.,说明:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别. 在点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P 未必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同.,解:设所求切线的切点在A(x0,y0).,因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02 .,故切点分别为(1,1)或(5,25).,当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2;,当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10;,所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),即y=2x-1或y=10 x-25.,练习2:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.,解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有: y0=3x0+1,y0=ax03,3ax02=3.,由,得3x0+1=ax03,由得ax02=1,代入上式可得: 3x0+1=x0,x0=-1/2.,所以a(-1/2)2=1,a=4.,四、小结与作业,2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为 可以

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