2工程塑性理论应变分析.ppt

1、6.4 点的应变状态6.4.1 应变的表示方法6.4.1.1应变的定义,在外力作用下，物体内部任意两点间的相对位置发生改变时，则认为物体发生了变形，物体的变形通常包含线长度的变化和角度的变化。,表示线长度的相对伸长或缩短的量称为线应变或正应变，线段伸长时的正应变为正，缩短时为负。表示角度变化的量称为切应变。角度减小时的切应变为正值，角度增大时为负值。,在以下所分析的应变量都是小应变，一般不超过10-310-2数量级，因此，对弹性应变和塑性应变不加区别。由于变形较小，可以忽略切应变对线长度的影响。,6.4.1.2应变的表示方法表示应变量大小的方法通常有两种：工程应变：又称相对应变或名义应变。对数

2、应变：也称真（实）应变或自然应变。,设l0为物体中两质点变形前的尺寸，ln为变形后尺寸，则工程应变可用下式表示，即,工程应变一般适用于变形程度较小的情况。当变形程度较大时，工程应变不足以反映实际的变形过程。只有采用对数应变才能得到合理的结果。,对于实际变形过程，设物体中两质点的距离由变形前的l0经过n个变形过程后变为ln。,则总的应变量可近似地看作是个n个无限小的相对应变之和，即,当n无限增大时，以积分代替求和，则总的应变量为,反映了物体变形的实际情况， 将其称为对数应变。,对数应变的确切定义为：在应变主轴保持不变条件下的应变增量的总和。,6.4.1.3对数应变和工程应变特性（1）工程应变不能

3、反映变形的实际情况,由式可见, 当变形程度很小时, 工程应变的高次项 可以忽略，对数应变近似地等于工程应变，即 。 变形程度愈大，二者相差愈大。 一般当变形程度10%时，就可以认为： ,（2）对数应变具有可加性，而工程应变不具有可加性,总的工程应变为：,各阶段的工程应变为：,，,，,总的对数应变为 :,各阶段的对数应变为 :,（3）对数应变为可比应变，工程应变为不可比应变,变形体l0,物体拉长一倍与缩短一倍时，物体的变形程度应该是一样的，而采用工程应变表示拉压变形程度时，数值相差悬殊，失去了可以比较的性质。而真实应变是可以进行比较的。,（4）工程应变计算简单对数应变虽具有上述优点，但在工程计算

4、上，由于必须查找自然对数，显然在使用上是不方便的，所以，除了要求计算精度较高时采用对数应变外，通常采用工程应变。,6.4.2 点的应变状态6.4.2.1 应变几何方程应变分量与位移分量之间的关系。,u,从变形体中取出一边长分别为dx、dy、dz的单元体，由于单元体非常小，可以认为单元体的变形是均匀的，变形前的两个平行平面在变形后仍保持平行关系，并且在坐标面的投影可以合并为一个投影平面。,为了研究问题的方便，将三维坐标系中的变形前后的六面体分别投影到x-y、y-z、z-x坐标平面内。现研究x-y坐标系中的变形情况。,设A点沿x轴和y轴方向的位移分别为,设B点沿x轴和y轴方向的位移分别为,设D点沿

5、x轴和y轴方向的位移分别为,将B点和D点的位移按泰勒级数展开，忽略二阶以上高阶微量，则可得B点的位移：,D点的位移：,切应变由角度的变化来表示。,仿照切应力互等定律，将看作是由棱边AB和AD同时向内偏转相同的角度xy和yx组成的，因此，将切应变定义为,对于实际变形过程，虽然棱边AB和AD偏转的角度不一定相同，即xyxy，但所产生的塑性变形效果是一样的，即棱边AB和AD偏转的角度之和为xy，而与xy和xy是否相等无关。,由于在一般情况下，xyxy，显然在xy和xy中也常常包含了单元体绕z轴作刚性转动时产生的角度变化z,式(6-74)是在小变形条件下，由变形的几何关系导出的，称为（小）应变几何方程

6、。由式(6-74)可知，若已知三个位移分量，则可以确定九个应变分量，其中独立的应变分量只有六个。,ux uy uz,圆柱坐标系下的应变几何方程：,6.4.2.2点的应变状态一点的应变状态被确定，是指过该点所有截面上的应变分量均是确定的。,从无数多个截面中， 找出一组相互垂直的三个平面,可以求出过该点任意截面上的应变,因此，可以说，已知：,可以确定该点的应变状态,6.4.3体积不变条件在小变形条件下，切应变所引起的线长度的变化可以认为是高阶微量，可以忽略不计，物体的体积变化仅与正应变有关。,设单元体的边长为dx、dy、dz，则变形前的体积为,变形后的体积为,单元体单位体积的变化量：,在小变形条件

7、下，应变的乘积相可略去，则体积变化可表示为,实验指出，金属在外力作用下产生塑性变形时，其所产生的体积变形是弹性的，当外力去除之后，体积变形恢复，没有残余的体积变形，并且这种弹性的体积改变是很小的，例如弹簧钢在一万个大气压下体积缩小仅为2.2%。因此，对于一般应力状态下的变形体，在塑性变形前后的体积变化是可以忽略的。即,体积不变条件也可以用对数应变来表示。由于V=V0，因此，可得,将上式两边取对数，可得,在材料塑性成形过程中，体积不变条件是一个很重要的原则。有些问题可根据几何关系直接应用体积不变条件来求解。此外，体积不变条件还可以用于塑性成形时的坯料或半成品的形状和尺寸的计算等。,6.4.4主应

8、变与主切应变6.4.4.1主应变与应变张量不变量应变主平面：切应变为零的平面；应变主方向：应变主平面的法线方向：主应变：切应变为零平面上的正应变。 1、2、3,主应变可由应变张量的特征方程求得，即,J1：应变张量的第一不变量 J2：应变张量的第二不变量 J3：应变张量的第三不变量,6.4.4.2应变莫尔圆,由于在塑性变形时，变形体体积保持不变：,因此，轴总是与应变莫尔圆相交。,6.4.4.3 主应变简图 主偏应力简图主应变简图是采用主坐标系定性描述点应变状态的一种简化几何图形。,（1）轧制技术,变形区 变形区形状不变 稳态变形,（2）挤压技术,挤压杆 挤压筒 坯料 变形区 挤压件,（3）拉拔技

9、术,坯料 拉拔模 变形区 制品,（4）锻造技术,有摩擦时,无摩擦时,（5）冲压技术,6.4.4.4主切应变与最大切应变应变主切平面：切应变达到极值的平面；主切应变：切应变达到极值平面上的切应变。应变主切平面与应变主平面成45。,与主切应力相对应地也可以得出主切应变与主应变之间的关系,绝对值最大的主切应变称为最大切应变 ：,当主应变顺序已知 ：,6.4.5应变偏张量和球张量应变张量同样可以分解为应变偏张量和应变球张量，即,平均应变m可用下式表示,对于塑性变形：,0,应变偏张量的分量为,球张量表示各方向的正应变相等，它代表体积改变部分。应变偏张量的三个正应变之和为零，表明它仅代表了形状改变部分。应

10、变偏张量也存在着三个不变量，设应变偏张量的第一、二、三不变量分别为,6.4.6八面体应变与等效应变6.4.6.1八面体应变如果以应变主轴为坐标轴，同样可以做出八面体，则八面体上的应变为,八面体的正应变：,八面体的切应变：,6.4.6.2等效应变,与等效应力一样，等效应变是与材料塑性变形有密切关系的重要参数之一。等效应变具有如下特点，即：（a）等效应变是一个不变量；（b）等效应变在数值上等于单向均匀拉伸（或压缩）时的拉伸（或压缩）方向上的正应变。,单向拉伸时的应力状态： 10； 230,1,单向拉伸时的应变状态： 10； 23-1 /20（ 1 23 0）,1,“点的应变状态”小结：,1）可求任

11、意截面应变 2）可描述点的应变状态 3）可求主应变及应变张 量不变量 4）画出主应变简图 5）可求最大切应变 6）可求偏应变 7）可求主偏应变及偏应 变张量不变量 8）可求等效应变,6.5 应变增量和应变速率前面所分析的应变，通常称为“全量应变”.全量应变：是表示单元体从初始状态开始至变形过程终了时的全过程应变量。,全量应变的大小与变形途径有关，只有知道了变形途径，才能确定全量应变的大小。如果质点曾有过几次变形，则其全量应变将是历次变形叠加的结果。,全量应变：？,压缩,但是，塑性变形是不可恢复的，单元体每经过一次加载产生的塑性变形在卸载之后仍然保留下来，并作为下一次加载时的初始状态，因此，变形

12、过程终了时的全量应变不一定取决于当时的应力状态。使得全量应变在塑性变形研究中的作用受到了很大的限制。,应变增量：是变形体在变形过程中某一瞬时产生的无限小应变。与全量应变相比，应变增量是以瞬时的尺寸为起始点计算的，而全量应变是以变形过程的起始点计算的，因此，应变增量更能准确地反映物体的变形情况。,对于一般的塑性变形过程，物体的变形是非常复杂的，变形也往往是不均匀的，应变主轴是不断变化的，使得应变主轴与应变增量主轴不一定重合，因此，dij并不表示ij的微分，即,应变增量与全量应变除了计算的起始点以及计算过程的长短不同外，二者没有其它不同之处，因此，一点的应变增量也是对称张量，称为应变增量张量，用符

13、号dij表示，,应变增量与位移增量之间关系的几何方程 ：,在应变增量理论中，具有与小应变理论完全相同的定义和方程式，例如具有三个主应变增量（d1、d2、d3）、三个不变量、三对主切应变增量、应变增量莫尔圆、应变增量偏张量、应变增量球张量、等效应变增量以及用应变增量表示的体积不变条件等。只要用dij代替ij即可。,“点的应变增量”小结：,1）可求任意截面应变增量 2）可描述点的应变增量状态 3）可求主应变增量及应变增 量张量不变量 4）画出主应变增量简图 5）可求最大切应变增量 6）可求偏应变增量 7）可求主偏应变增量及偏应 变增量张量不变量 8）可求等效应变增量 9）应变增量几何方程 10）

14、d1d2d30,6.5.2 应变速率当物体在较低的温度以及较慢的速度条件下变形时，可以认为材料的力学性能与变形速度无关。当物体在较短的时间内产生很大的变形量，即物体的变形速度很高时，就必须考虑变形速度对材料力学性能的影响，尤其是在较高的变形温度，例如在再结晶温度范围内时，变形速度的影响是非常大的。,应变速率几何方程：,上式对于大、小变形都是成立的，但要求对dij按瞬时位置起算, 而不是按初始位置起算，ij都是按初始位置起算的。,在变形很小时，由于无需区别两种起算位置，上述关系才成立。,对于主应变速率而言，即使在小变形情况下，也只有当dij各分量按比例增大或缩小时，主应变方向才不会改变，并与主应

15、变速率方向一致，此时有,值得注意的是，提到“速度”的概念，要把工具的工作速度、位移速度以及应变速率加以区别。,工具的工作速度：是指工具在机械传动下产生的速度，其计量单位是m/s或m/min等，例如，在轧制时轧辊的旋转速度、锻造时锤头的下降速度等。,位移速度：是指变形体内任意一点从某一瞬时算起，单位时间内所移动的距离，位移速度的计量单位是m/s或m/min等。可表示为,应变速率则表示从某一瞬时算起，在一微小的时间间隔内，单位时间内产生的应变增量，其计量单位为1/s 。,材料在单向拉伸实验时的应变速率与拉伸机的工作速度成正比，与试样的长度成反比。,材料试验机的工作速度保持不变的条件下，在拉伸时，由

16、于试样长度l不断增长，所以应变速率逐渐减小。压缩时，试样长度l不断减小，所以，应变速率逐渐增大。,在应变速率理论中，具有与小应变理论完全相同的定义和方程式，例如具有三个主应变速率、三个不变量、三对主切应变速率、应变速率莫尔圆、应变速率偏张量、应变速率球张量、等效应变速率以及用应变速率表示的体积不变条件等。只要用应变速率代替应变即可。,“点的应变速率”小结：,1）可求任意截面应变速率 2）可描述点的应变速率状态 3）可求主应变速率及应变速 率张量不变量 4）画出主应变速率简图 5）可求最大切应变速率 6）可求偏应变速率 7）可求主偏应变速率及偏应 变速率张量不变量 8）可求等效应变速率 9）应变

17、速率几何方程 10） 体积不变条件,6.6 应变的连续方程假设变形体为连续体，则物体在变形过程中始终保持连续，不会产生任何空隙，在体积不变条件下，也不会出现两质点的相互“重叠”的现象。这就要求变形体内各点的应变不能是任意的，而是要受到一定条件的限制，这个限制条件就是应变的连续方程，也称为几何相容条件。,应变的连续方程有两组：一组为每个坐标平面内的各应变分量之间的关系；另一组为不同坐标平面内的各应变分量之间的关系。,同一坐标平面内的各应变分量之间的关系,将x对y求两次偏导数，将y对x求两次偏导数，两式相加后，可得,需要指出的是，如果已知一点的位移分量，利用几何方程求得的应变分量自然满足应变连续方程。但如果先用其它方法求得的应变分量，则只有当它们满