信号与系统.ppt

1、,Chapter3,傅立叶变换和系统的频域分析,本章要点,信号分解为正交函数,傅立叶级数,周期信号的频谱,非周期信号的频谱,LTI系统的频域分析,傅立叶变换的性质,能量频谱和功率谱,周期信号的傅立叶变换,F,F,F,F,F,F,F,F,序列的傅立叶分析,取样定理,F,F,离散傅立叶变换及其性质,F,4.0 引言,变换域分析就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信号 ，或者说，信号 用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的正交完备集。 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章付里叶变换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输

2、和处理问题。,4.1信号分解为正交函数,信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。,一、矢量的分量和矢量的分解,矢量 在矢量 上的分量示意图,图 中 用分量 来近似代表原矢量 的误差矢量。,图 中 为 在 上的斜投影，可有无穷多个斜投影，用斜投影近似代表原矢量 时， 都大于 。,结论：若用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量最小，则这个分量只能是原矢量的垂直投影。,从几何图上可得：,从解析角度： 令误差矢量的平方最小 则令 也可导出,是在最小平方误差的意义上标志着 和 相互近似程度。,例如：,和 相同时，,时，,由图 还可看出，,其中 ， 与 组成一正交矢量。,和 是一组模为1

3、的正 交矢量,空间中的矢量分解图,则,1、函数的分量,设在区间 内，用函数 在另一 函数 中的分量 来近似的代表 原函数 。,取何值时，得到最佳近似？,选择误差函数 的方均值为最小，即误差信号功率（能量）最小。,即,令,则,解得,是在最小方均误差的意义上代表二函数 和 间的相关联的程度。,称 和 在区间 内为正交，构成 了正交函数。,称 与 正交，组成正交矢量。,例：用正弦波逼近三角函数，,解：,几点认识：, 与 正交,因为 中已经最大限度抽出 ，已经无 分量。,可以证明：, 中还可以抽出除 以外的函数，如 ， 此时,：抽出 ， 后剩下的误差函数,1、 在t1,t2区间上定义的非零实函数f1(

4、t)与f2(t)，若满足条件：,则函数f1(t)与f2(t)为区间t1,t2上的正交函数,2、 若 f1(t)与f2(t)是复变函数，则 f1(t)与f2(t)在t1,t2区间上正交的条件是：,正交函数的定义,复变函数的正交特性,若 和 是t 的复变函数，则有关正交特性 的描述如下：,若 在区间 内可由 来近似， 使均方误差幅度最小的 之最佳值是,两个复变函数 和 在区间 内互相 正交的条件是：,小结：,两周期信号在同一周期内（同一区间内）正交（即从 抽不出 分量）的条件是 ，即：,两个信号不正交，就有相关关系，必能抽出另一信号。,对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定满足正交。,正交函

5、数集,定义：在t1,t2区间上定义的n个非零实函数集g1(t), g2(t) ,gn(t)，其中任意两个函数gi(t)、 gj(t)均满足：,则称此函数集为正交函数集，这n个 构成一个n维正交信号空间。任意一个代表信号的函数f(t)，在区间 内可以用组成信号空间的n个正交函数的线性组合来近似。,在使近似式的均方误差最小的情况下，可分别求得系数c1,c2,cn：,令,则：,小结：,上式是个通式，适合与任何正交函数集。, C1, C2, , Cn是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数无此特性。,正交函数集规定： 所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该

6、函数集是正交函数。,如果在区间 内，复变函数集 ，,满足,则称此为正交函数集,完备正交函数集,如果用正交函数集 ， ， 在区间 近似表示函数 方均误差为 若令 趋于无限大， 的极限等于零 则此函数集称为完备正交函数集,定义1：,定义2：,如果在正交函数集 之外， 不存在函数x（t）,满足等式,i为任意整数,则此函数集称为完备正交函数集。,这有两层意思：,1，如果x（t）在区间内与 正交，则x（t）必属 于这个正交集。,2，若x（t）与 正交，但 中不包含x（t）， 则此集不完备。,所谓完备，是指对任意函数f(t)，都可以用一无穷级数表示：,此级数收敛于f(t)。上式即f(t)的正交分解。,(1

7、) 三角函数集为正交函数集。,(2)复指数函数集,是一个复变函数集，在区间t0，t0+T内是完备正交函数集。,常用的完备正交函数集,当所取函数有无限多个时，在区间t0，t0+T内组成完备正交函数集。其中T=2/,例：,试用正弦函数sint 在区间（0，2 ）内来近似表示此函数，使均方误差最小。,所以,解：,在区间 内近似为,例：试用函数 在区间 内近似表示,4.2 信号表示为傅里叶级数,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,傅里叶的两个最主要的贡献,representation of signa

8、l: Fourier Series,1、三角函数集：,利用复变函数的正交特性,说明：,周期信号可分解为 区间上的指数信号 的线性组合。,如给出 ，则 唯一确定。,3、两种系数之间的关系：,一、周期信号f（t）表示为傅立叶级数,由数学分析知，当周期信号f（t）满足狄氏条件时， 可展开为三角傅立叶级数或复指数傅立叶级数。,狄氏条件：,（1）在一周期内，间断点的数目有限；,（2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；,（3）在一周期内，信号绝对可积,电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当f（t)满足 狄氏条件时， 才存在。,1，周期信号f（t）展开为三角付里叶级数,设f（t）是周期为T的函数,2、周

9、期信号f（t）展开为复指数付里叶级数,证明：,二、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。,周期偶函数只含直流和,其中a是实数 bn=0 Fn是实数,例如:周期三角函数是偶函数,E,f(t),T1/2,-T1/2,t,周期奇函数只含正弦项,Fn为虚数,例如周期锯齿波是奇函数,E/2,-E/2,T1/2,-T1/2,f(t),t,0,半周期重叠对称,半周期对称 平移半个周期与原波形完全重合 波形不变,实际周期为T/2，实际角频率为20，基波和谐波频率均为0的偶数倍，只有偶次谐波分量。,0,T/2,-T/2,A,半周期重叠对称的傅氏级数,奇谐函数,沿时间轴移半个周期； 沿时间轴反转重合； 波形不变；

10、半周期对称,奇谐函数的波形：,f(t),T1/2,-T1/2,0,t,奇谐函数的傅氏级数,奇谐函数的偶次谐波的系数为0,例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量,周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量,周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量,含有直流分量和正弦分量,只含有正弦分量,含有直流分量和余弦分量,4.3 周期信号的频谱,为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率 分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示 方法。,一、 频谱图的概念,由上一节知周期信号f（t）可用付里叶级数来表示。,或,幅频特性和相频特性,例：已知 画出其幅度谱和相位谱,

11、解：化为余弦形式,三角形式的傅立叶级数的谱系数：,三角形式频谱图：,化为指数形式,整理，得：,指数形式的傅立叶级数的系数,谱线,指数形式频谱图：,三角形式与指数形式的频谱图对比,周期复指数信号频谱图的特点,引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导； An 是实函数，Fn 一般是复函数，Fn =(1/2)An; 每个分量幅度分在对称的频率分量上； 当 Fn 是实函数时，可用Fn 的正负表示0和相位， 幅度谱和相位谱合一；,二 、典型周期信号的频谱,周期矩形脉冲信号,F（t）,T,t,T：脉冲周期,：脉冲宽度,A：脉冲幅度,第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数,f(t)是偶函数,bn=0,T

12、,：三角函数公共周期,第二步：展成指数形式付里叶级数FS,第三步：频谱分析,与,之比值有关，取,与,包络线均为,为离散频率,当 时,即,计算第一个振幅为零的谐波次数n,幅度频谱图,1,抽样函数,0 an0,相位频谱图,第四步：讨论频谱结构与 、T 的关系,1.当 不变，T增大，谱线间隔 减小，谱线逐渐密集，幅度 减 小,当,非周期信号,连续频率,成立时,此例中 为一实数。幅度频谱与 相位频谱可以和画在一张图上。,对于一般频谱，常以0频率开始 振幅将为包络线最大值的1/10的频率之间的频带定义为信号的频带宽度,2.当T不变 减小时,T不定,间隔不变,振幅为0的谐波频率,3.频带宽度的定义,对于周

13、期矩形信号，一般,或,周期矩形信号的时间特性：f(t)变化快,f(t)变化慢,频率特性：,变化快的信号必然具有较宽的频带,三、周期信号的频谱特点,(1)离散性谱线是离散的而不是连续的，谱线之间 的间隔为 。这种频谱常称为离散频谱。,(2)谐波性谱线在频谱轴上的位置是基频 的整数 倍 。,(3)收敛性各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。,(4)唯一性 的谱线是唯一的。,四、周期信号的功率特性,P为周期信号的平均功率 符合帕斯瓦尔定理,4.4 非周期信号的频谱,以上章节讨论了周期信号的付里叶级数，并得到周期信号的频谱具有离散性、谐波性、收敛性三个特点

14、，本节把上述傅立叶分析方法推广到非周期信号中，导出非周期信号的傅立叶变换FT。 一、频谱密度函数 以周期矩形信号为例，当周期 （周期信号为非周期信号）， （离散频谱变成连续频谱）， 即谱线长度趋于零（无穷小）。 此时，原分析方法失效，但谱线长度（振幅）虽同为无穷小，但它们的大小并不相同，相对值仍有差别。,为了表明无穷小的振幅间的相对差别，有必要引入 一个新的量称为“频谱密度函数”。,设周期信号,“频谱密度函数”,从上式可以看出： 非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。 不同的是，由于非周期信号的 于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。 同时，三角函数振幅 ，故用频

15、谱不能直接画出，必须用它的密度函数作出。 最后必须指出，从理论上讲，FT也应满足类似狄氏条件。,讨论：,常用信号频谱函数举例,1,t,0,f(t),(a),0,(b),0,(c),f(t),0,t,(a),(b),0,3、矩形单脉冲信号（门函数）,(a) (b) (c),(d),常数频谱1不满足绝对可积条件，如何求其反变换？,物理意义：在时域中变化 异常剧烈的冲激函数包含 幅度相等的所有频率分量。 因此，这种频谱常称为“均 匀谱“或”白色谱“。,0,1,t,-2T-T 0 T 2T 3T t,(a)周期单位冲激序列 (b)付里叶变换频谱,表示在无穷小的频带 范围内（即谐频点） 取得了无限大的频

16、谱 密度值。,例2：,付里叶变换,付里叶变换,付里叶级数,0 t 0 ,-2T T 0 T 2T t,0 t,例3：,4.5 傅立叶变换的性质,说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。,F,F,4.6 能量谱和功率谱,从能量的角度来考察信号时域和频域特性间的关系,Parsevals定理：周期信号的功率等于该信号在 完备正交函数集中各分量功率之和。,一般非周期信号 属于能量有限信号,Parseval定理：非周期信号在时域中求得的信号能量等于在频域中求得的信号能量。,两块阴影的面积 相等,能量密度谱,能量有限信号,4.7 周期信号的傅立叶变换,一般周期信号的傅立叶变换 傅立叶级数FS与其单

17、脉冲的傅立叶变换FT的关系 正余弦信号的傅立叶变换FT 周期单位冲激序列的FS和 FT 周期矩形脉冲的FS和FT 周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系,一、一般周期信号的傅立叶变换,由一些冲激组成离散频谱 位于信号的谐频处 大小不是有限值，而是无穷小频带内有无穷大的频谱值,周期信号的傅立叶变换存在条件,周期信号不满足绝对可积条件 引入冲击信号后，冲击函数的积分是有意义的 在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在的 周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即傅立叶变换是一系列冲激函数,二、傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶变换FT的关系,由FS 取f(t)的一个周期 ，其FT为 所以,三、正余弦信号的傅立叶

18、变换用频移特性,正余弦信号的傅立叶变换用极限方法,有限长余弦 看成矩形 乘 有限长余弦求极限，得到无限长余弦,四、周期单位冲激序列的FS,FS,FT,五、周期矩形脉冲的FS和FT,周期重复,周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系,由单脉冲联想FS的Fn,FS,FT,小结单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较,单脉冲的频谱 是连续谱，它的大小是有限值； 周期信号的谱 是离散谱，含谱密度概念，它的大小用冲激表示； 是 的包络线 。,4.8 LTI的频域分析,LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1.改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。,信号在传输过程中，相位特性或幅

19、度特性发生 改变都会引起信号波形的改变，即发生失真。 当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，则只引起信号在时间上的平移。若连续时间LTI系统：,则,此时并未丢失信号所携带的任何信息，只是发生时间上的延迟，因而在工程应用中是允许的。,如果系统的相位特性是非线性的，由于不同频率分量受相位特性影响所产生的时移不同，叠加起来一定会变成一个与原来信号很不相同的信号波形。 对离散时间LTI系统，也有同样的结论。但对线性相位系统，当相位特性的斜率是整数时，只引起信号的时域移位。若相位特性的斜率不是整数，由于离散时间信号的时移量只能是整数，需要采用其他手段实现，其含义也不再是原始信号的简单移位。,一 、系统响应

20、的频域分析,h(t) H(j),1. 系统函数H(j)的频域形式,e(t)=(t),F(j)=1,r(t)=h(t),R(j)=H(j),h(t) H(j),x(t),r(t)=e(t)* h(t),E(j),Y(j)= E(j) H(j),由时域分析法:,根据卷积特性，在频域有:,频域分析的步骤：,由 得出 。,2. 根据系统描述求出 。,3. 求出 ，,4. 做反变换，求出 。,由于 的傅氏变换 就是频率为 的复指数信号 通过LTI系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。,鉴于 与 是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响应完全表征。并非任何系统的 都存在，因此

21、用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。,很容易得出： 系统级联时，频率响应相乘；系统并联时，频率响应相加。,是有理函数。,对由LCCDE描述的LTI系统：,对LCCDE两边进行傅里叶变换有：,例1. 求RC电路的系统函数,C,R,V1(t),V2(t),(1) 微分方程法,两边进行傅立叶变换,(2) 傅氏变换法,已知RC冲激响应为：,系统 函数,例2. 设RC-LPF的V1(t) 为一矩形脉冲，利用FT求C两端的电压,矩形脉冲通过RC低通网络,C,R,V1(t),V2(t),二. 信号的无失真传输条件,LTI,e(t),r(t)-波形失真,失真原因：低通对高频的抑制作用,R(j)-,失真

22、：时域 r(t)-波形失真 频域 R(j)-振幅相位失真,LTI H(j),e(t),r(t)=ke(t-t0),无失真传输条件,R(j)= Ke-jt,t0,e(t),r(t),无失真：保持波形不变,H(j)=Ke-jt,E(j),R(j)=H(j) E(j),幅度失真：由于 改变所引起的失真。 相位失真：由于 改变所引起的失真。,在不同的应用场合，对幅度失真和相位失真有不同的要求，表现出不同的敏感程度。,在声音传输中，主要关注幅度失真；在图象、图形传输中主要关注相位失真。,如果系统响应与输入信号满足下列条件，可视 为在传输中未发生失真。,这就要求系统的频率特性为,如果一个系统的幅频特性是一

23、个常数，称这种 系统为全通系统。,时域表征,据此可得出信号传输的不失真条件：,通常，系统若在被传输信号的带宽范围内满足不失真条件，则认为该系统对此信号是不失真系统。,频域表征,表明：系统的幅频特性应为常数，相频特性应呈线性。,由于物理可实现的系统，其幅频特性与相频特性是相互制约的，严格说来，失真是不可避免的。工程应用中只能在信号带宽内尽量满足这一要求。并且在不同的应用场合，应对幅度失真和相位失真提出不同的要求，在二者之间作出恰当折衷。,三、理想频率选择性滤波器,1.频率成形滤波器 2.频率选择性滤波器,1. 滤波,通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为

24、滤波。,滤波器可分为两大类：,2. 理想频率选择性滤波器的频率特性,理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。,理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。,滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（pass band ），完全不允许信号通过的频段称为阻带（stop band）。,连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性,低通,高通,带通,带阻,3、理想滤波器的频域特性,为截止频率(Cut off frequency),相移特性是过原点直线,滤波器的通带,滤波器的阻带,理想低通滤波器的冲激响应,由图知t0时， ，而输 入 在t0时加入，

25、这是反因果规律的，所以理想低通滤波器是无法实现的。,理想低通滤波器的阶跃响应,激励,系统,响应,式中,称为正弦积分函数,1,t,O,t,O,1,t,O,1上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，记作,B是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。,2阶跃响应的上升时间tr 与网络的截止频率B（带宽）成反比,理想低通滤波器的物理可实现条件 给定一个网络数学模型，什么样的可以物理可实现，什么样的不行？这是一个网络综合问题。,网络分析：已知网络结构和参数，求系统在一定输入下的 响应。 网络综合：在给定网络特性的情况下，确定网络的结构和 参数。,1. 物理可实现的时域条件：,这一条件也称为“因果条件”,2. 物理可实现的频域条件：,物理可实现的必要条件是：,其中,满足,这一条件称为佩利维纳准则,例如：理想低通滤波器,违反了佩利维纳准则 ，则系统不可实现。,举例：一个简单的低通滤波器。,分析：,可看出， 与理想低通滤波器