材料力学-03.ppt

1、第三章 扭 转,31 扭转的概念和实例 32 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 33 纯剪切 34 圆轴扭转时的应力 35 圆轴扭转时的变形 36 非圆截面杆扭转的概念,目录,汽车方向盘,目录,一、工程实例,3-1 扭转的概念和实例,对称扳手拧紧镙帽,汽车传动轴,构件特征：等圆截面直杆圆轴。,受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。,变形特征：纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角(或 称剪应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对 转动，称为扭转角。,二、扭转的概念,直接计算,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,1.外力偶矩,3-2,目录,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,已知

2、轴转速n 转/分钟 输出功率P 千瓦 求：力偶矩Me,目录,3 扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。,二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩,目录,3-2,目录,扭 矩 的 符 号 规 定,4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目 的,x,T,目录,已知圆轴受外力偶矩作 用，匀速转动。则,用截面法求内力：,扭矩：受扭构件横截面上的内力偶矩，记为T。,扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面 外法线的指向一致，为正；反之为负。,截面2-2上的内力：,（+）,扭矩图：扭矩随构件横

3、截面的位置变化的图线。,（-）,扭矩图,扭转,例1已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,目录,扭转,求扭矩（扭矩按正方向设）,目录,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,x,T,4.78,9.56,6.37,目录,例 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速 n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置是否合理？,经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为,解：,绘出扭矩图：,（-）,扭矩T

4、-图,（+）,（在CA段和AD段）,将A、D轮的位置更换，则,扭矩T-图,（AD段）,因此将A、D轮的位置更换不合理。,3.3 纯剪切,纯剪切若单元体各个面上只承受剪应力而没有正应力。 单元体是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小的正立方体，以表示几何上的一点。,一、实验：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线； 施加一对外力偶 m。,目录,扭转,2.实验后：,圆周线不变； 纵向线变成斜直线。,3.结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,目录,扭转,无正应力 横截面上各点处，只产生

5、垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,微小矩形单元体如图所示：,目录,扭转,一、薄壁圆筒剪应力 大小：,A0：平均半径所作圆的面积。,目录,薄壁圆筒横截面 上的剪应力分布,薄壁圆筒纵截面上的剪应力,二、剪应力互等定理,Mez=0 (d dy) dx=( d dx) dy = ,剪应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则同时指向或同时背离这一交线。,剪切虎克定律,B,其中G是材料的剪切弹性模量。,且,实验证明：当剪应力不超过 材料的比例极限 时，剪 应力 与剪应变 成正比。 即,单位：Mpa、

6、Gpa.,剪切虎克定律,剪切应变能,外力,位移,不计能量损耗，外力功转换为单元体内所积蓄的变形能，即,因此单元体的剪切应变能密度为,3.4 圆轴扭转时的应力,T,T,研究方法：,1、实验观察,横截面上的 应力分布,观察到的变形现象,（1）,横截面上存在剪应力,（2）圆周线大小、形状、间距保持不变，绕轴线产生相对转动。,横截面上不存在正应力,（3）圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。,假设刚性平面截面假设，即圆轴横截面象刚性圆盘一样绕轴线作相对转动。,1. 几何关系： dx=Rdj,2. 物理关系：,3. 静力关系：,剪应力分布：,最大剪应力：,抗扭截面系数：,强度条件：,圆轴扭转时的强度计算,

7、强度条件：,对于等截面圆轴：,( 称为许用剪应力。),强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,目录,圆轴：,空心圆轴：,圆轴：,空心圆轴：,薄壁杆：,薄壁杆：,例：,无缝钢管的汽车传动轴，外径D90mm，壁厚t=2.5mm，最大扭矩T=1.5kNm。材料的=60MPa，试校核扭转强度。若用实心轴，强度要与空心轴相同，试确定直径D1，并比较二者重量。,解：d/D=85/90=0.944 Wt=D3(1-4)/16=29400mm3 max=T/Wt=51MPa Wt=D13/16 D1=53.1mm A/A1=(D2-d2)/D12=0.31 空心轴 Wt/A=D(1

8、+2),T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。,目录,问题： 纵向截面里的剪应力是由什么内力平衡的？,3.5 圆轴扭转时的变形,1) 两截面间的相对扭转角：,T、G、Ip沿长度方向变化情况：,为常数：,分段常数：,为变量：,2) 单位长度扭转角：,3) 刚度条件：,若 为常数：,4) 与拉压的类比：jl，TFN，GE，Ip ,WtA,拉压：,扭转：,例：钻头横截面直径为20mm，在顶部受均匀的阻抗扭矩 (Nm/m)的作用，许用剪应力=70MPa，(1)求许可的M。(2)若G80GPa，求

9、上端对下端的相对扭转角。,Memax= Wt=110Nm,T(x)=1100 x， l1=0.1m， l2=0.2m,Wt=D3/16,1、2两空心圆轴，由同种材料制成，极惯矩分别为Ip1和Ip2，在扭矩m作用下2轴发生了变形，这时将两轴的端部焊接在一起，然后解除m，两轴内的扭矩。,例：,3.7 非圆截面杆扭转的概念,1) 翘曲 变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。,假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,2) 自由扭转和约束扭转,自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 无正应力，仅有剪应

10、力。 约束扭转：翘曲受到限制的扭转。 各截面翘曲程度不同，纵向纤维有伸缩， 所以，有正应力，也有剪应力。 薄壁杆自由扭转和约束扭转相差很大， 实体杆自由扭转和约束扭转相差不大。,3) 矩形截面杆的扭转,剪应力与截面边界相切 角点剪应力为零 中点剪应力最大,、与h/b有关 当hb时， =1/3,例 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的作用 ，钢的G =80GPa ，=100M Pa，=1/m ，试校核 此杆的强度和刚度。,解：查表求 、,校核强度,目录,校核刚度,综上,此杆满足强度和刚度要求。,目录,1、

11、 圆轴扭转的受力特点及变形特点； 2、 学会计算外力偶矩和扭矩、会画扭矩图； 3、 圆轴扭转时横截面上的应力分布规律和计算公式，扭转变形强度条件； 4、 扭转剪应力计算公式的适用条件； 5、 纯剪切的概念； 6、 圆轴扭转变形的变形量和扭转刚度条件； 7、 矩形截面杆扭转的特点；,本章重点,本章小结,一、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,N(kW) ：,符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ +” 与外法线反向“ ”,二、 内力偶矩： 扭矩 T,三、 纯剪切,薄壁圆筒扭转时的剪应力,剪应力分布：,抗扭截面系数：,最大剪应力：,强度条件：,四、圆轴扭转时的应力,五、圆轴扭转时的变形,1) 两截面间

12、的相对扭转角：,T、G、Ip沿长度方向变化情况：,为常数：,分段常数：,为变量：,2) 单位长度扭转角：,3) 刚度条件：,1、若将受扭实心圆轴的直径增加一倍，则其刚度是原来的 倍。 答案 刚度是原来的16倍 答疑 实心圆轴的单位长度扭转角M/GIP180/32M/Gd4180/，若将直径增若将直径增大一倍， M/GIP180/=32M/G(2d)4180/16,2、图示圆截面轴的直径为d，C截面相对于A截面的扭转角为： ，整个圆轴的最大扭转剪应力为： 。 答案 C截面相对于A截面的扭转角为0；整个轴内的最大剪应力为max= 16M/d3. 答疑 由于AB、BC段的内力大小相等、符号相反，杆长

13、相同固C截面相对于A截面的扭转角为=ML/GIP=Ma/GIP-Ma/GIP=0；轴内的最大剪应力max=M/Wt=16M/d3,3、直径为25毫米的圆钢杆，受轴向拉力60KN的作用，在标距为20厘米的长度内伸长了0.122毫米；受扭矩200Nm的作用，相距15厘米的两横截面相对扭转了0.55度，则此钢材的弹性模量E ，剪变模量G ,泊松比为 。 答案 E=200.48GPa；G=81.57GPa；=0.2288 答疑 在标距为20厘米的长度内伸长了0.122毫米,根据拉伸变形的虎克定律L=NL/EA有0.122=6010002010/(Ed2/4),得到：E=200.48GPa；相距15厘米

14、的两横截面相对扭转了0.55度, 根据扭转变形的两截面间的相对转角=ML/GIP有：0.55=2000.15/GIP180/，得到：G=81.57GPa；各向同向材料之间满足G=E/2(1+)，固泊松比=0.2288,4、图示中的轴1与套筒2牢固第结合在一起，两者的剪变模量为G1、G2，两端承受扭转力偶矩M，为使轴与套筒承受的扭矩相同，则必须满足的条件是 。 答案 抗扭刚度相等即G1IP1= G2IP2 答疑 轴与套筒的扭转角相同1=2 而1=M1L/G1IP1、2=M2L/G2IP2,所以有：M1L/G1IP1 M2L/G2IP2。固保证承担的扭矩相同必须有相同的抗扭刚度即 G1IP1= G2IP2,5、轴的半径为R，长为L，剪变模量G，受扭后圆轴表面的纵向线倾角为,则在线弹性小变形范围内max和单位长度扭转角分别为： A：max=G =/L B: max=G =/R C：max=GL/R =/L D：max=GL/R =/R 答案 正确选择：B 答疑 受扭后圆轴表面的纵向线倾角即为圆轴在边缘上点的角应变，所以圆轴的最大剪应力为max=G；而圆轴的右侧截面相对于左侧截面的相对转角为=L