数理方程第6讲.ppt

1、1,此文件可在网址下载,数学物理方程 与特殊函数,第6讲,2,我们知道, 若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件, 则在f(t)的连续点处, 有,(1.8)式叫做f(t)的傅氏变换式, (1.9)式为F(w)的傅式逆变换式, f(t)与F(w)可相互转换,可记为F(w)=F f(t) 和 f(t)=F -1F(w),3,还可以将f(t)放在左端, F(w)放在右端, 中间用双向箭头连接: f(t) F(w) (1.8)式右端的积分运算, 叫做f(t)的傅氏变换, 同样, (1.9)式右端的积分运算, 叫做F(w)的傅氏逆变换. F(w)称作f(t)的象函数, f(t)称作F(w)的象原函数.可以

2、说象函数F(w)和象原函数f(t)构成了一个傅氏变换对.,4,单位脉冲函数及其傅氏变换,5,在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.,6,在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则,由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即,所以, 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的

3、, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.,7,如果我们形式地计算这个导数, 则得,这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数. 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.,8,对于在(-,)上定义的所有可积函数的集合, 也可以构成一线性空间, 进一步地在上面定义内积, 就可以构成一欧氏空间, 两个函数f(t)和g(t)的内积可以定义为:

4、,9,对于给定的f(t), 我们希望找到一个函数和它的内积能够正好等于f(0). 如果f(t)在0处连续, 我们可以用一非常小的正数e0, 计算f(t)在区间0,e上的平均值, 则这个平均值近似等于f(0):,而实际上这相当于f(t)和一称作de(t)的函数内积:,t,10,称de(t)的弱极限为d-函数, 记为d(t),11,工程上将d-函数称为单位脉冲函数, 可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度.,t,O,d(t),1,12,d-函数有性质,d-函数的傅氏变换为:,13,t,O,d(t),1,w,O,F(w),1,可见, 单

5、位脉冲函数d(t)与常数1构成了一傅氏变换对. 同理, d(t-t0)和 亦构成了一个傅氏变换对.,14,在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件,例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换. 所谓广义是相对于古典意义而言的, 在广义意义下, 同样可以说, 象函数F(w)和象原函数f(t)亦构成一个傅氏变换对.,15,p,w,O,|F(w)|,O,t,u(t),16,17,18,若F(w)=2pd(w)时, 由傅氏逆变换可得,所以1和2pd(

6、w)也构成傅氏变换对. 同理, 如F(w)=2pd(w-w0),19,由上面两个函数的变换可得,20,性质: 若F f(t)=F(w), F g(t)=G(w),21,卷积的概念若已知函数f1(t), f2(t), 则积分,称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t),22,卷积的图示,f1(t),f2(t),t,O,f2(-t),O,t,t,O,t,f2(t-t),23,在积分,中, 令u=t-t, 则t=t-u, du=-dt, 则,即卷积满足交换律.,24,下证卷积满足结合律, 即f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)为此, 令,则,

7、25,交换二重积分的次序, 得,令v=t-u, 则u=t-v,26,例1 证明 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)证 根据卷积的定义,27,任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为,因此, 单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用.,28,卷积定理 假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件, 如 f1(t) F1(w) f2(t) F2(w)则 f1(t) * f2(t) F1(w)F2(w)以及,29,3.3 积分变换法举例,30,积分变换能用于解偏微分方程, 在偏微分方程两端对某个变量

8、取变换就能消去未知函数对该自变量求偏导数的运算, 得到象函数的较为简单的微分方程. 如果原来的偏微分方程中只包含有两个自变量, 通过一次变换就能得到象函数的常微分方程.,31,例1 无界杆上的热传导问题设有一根无限长的杆, 杆上具有强度为F(x,t)的热源, 杆的初始温度为j(x), 试求t0时杆上温度的分布规律.解 这个问题可归结为求解下列定解问题,其中,32,用记号U(w,t), G(w,t)分别表示函数u(x,t), f(x,t)关于变量x的傅里叶变换, 即,对(3.35)两端取关于x的傅里叶变换得,设F(w)为j(x)的傅里叶变换, (3.36)式就是 U(w,t)|t=0=F(w)(

9、3.38),33,(3.37)满足(3.38)的解为,查傅里叶变换表得,因此,34,用积分变换法求解定解问题的过程:一, 根据自变量的变化范围以及定界条件的具体情况, 选取适当的积分变换, 然后对方程的两端取变换, 把一个含两个自变量的偏微分方程化为含一个参量的常微分方程.二, 对定解条件取相应的变换, 导出新方程的定解条件.三, 解所得的常微分方程, 求得原定解问题解的变换式(即象函数).四, 对所得的变换式取逆变换, 得到原定解问题的解.,35,例2 一条半无限长的杆, 端点温度变化情况为已知, 杆的初始温度为0C, 求杆上温度的分布规律.解 这个问题可归结为求解下列定解问题:,用U(x,

10、p),F(p)分别表示函数u(x,t), f(t)关于t的拉氏变换, 对(3.41)和(3.43)两端进行变换, 得,36,(3.44)的通解是,当x时u(x,t)应当有界, 因此U(x,p)也应该有界, 故C2=0. 再由条件(3.45)得C1=F(p), 从而,37,由拉氏变换表可查到,因此,38,再由拉氏变换的微分性质可得,39,由拉氏变换的卷积性质得,40,用积分变换法解定解问题需要注意:(1) 如果选取恰当的积分变换. 首先注意自变量变化范围, 傅氏变换要求作变换的自变量在(-,+)内变化, 拉氏变换要求作变换的自变量在(0,+)内变化. 其次要注意定解条件的形式, 根据拉氏变换的微

11、分性质Lf (n)(t)=pnLf(t)-pn-1f(0)-pn-2f (0)-f (n-1)(0),如要对某自变量取拉氏变换, 必须在定解条件中给出当该自变量等于零时的函数值及有关导数值.,41,(2) 定解条件中哪些需要取变换, 哪些不需要取变换. 这个问题容易解决, 凡是对方程取变换时没有用到的条件都要对它取变换, 使它转化为新方程的定解条件.(3) 如何顺利地求出逆变换. 解决这个问题主要是依靠积分变换表(见附录B), 以及运用积分变换的有关性质, 有时还要用到计算反演积分的留数定理.,42,43,利用(3.48), 则(3.40)可表示为,(3.49)被称为泊松公式, 称函数G(x,

12、t;x,t)=K(x-x,t-t)为热传导方程的基本解, 它的物理意义是杆上x处时刻t的一个瞬时单位热源所引起的杆上的温度分布, 它也被称为影响函数.,44,对于高维热传导方程也可以引入基本解的概念, 以三维问题为例, 令,则三维热传导方程的基本解就是,利用K(x,y,z,t)可以将下列问题,45,的解表示成,46,例3 设有一长为l的均匀杆, 其一端固定, 另一端由静止状态开始受力F=Asin wt的作用, 力F的方向和杆的轴线一致, 求杆作纵振动的规律.解 由习题一中第3题可知, 杆作纵振动的方程与弦作横振动的方程完全相同, 因此这个问题可归结为如下的定解问题:,其中E为杨氏模量.,47,以U(x,p)表示函数u(x