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文档简介

1、第二章 黎曼几何 在仿射空间中引入度规场和不变距离，就构成 了黎曼空间。 2.1 黎曼空间和度规张量 1黎曼空间 设空间中两点的距离为ds 度规张量反映空间的性质 广义相对论中的任务之一就是要找出不同空间的,欧氏空间 黎曼空间特例 取直角坐标,若取球坐标，,闵氏空间 黎曼空间另一特例 则,2度规张量 反映空间的性质。 若 为 则空间是平坦的，否则是非平坦的，（以上的欧氏空间、闵氏空间均为平坦的）一般黎曼空间是非平坦的。,2.2张量指标的升降 度规张量不仅可以反映空间的性质，而且可以用来升降张量的指标（即将逆变量 协变量）： 一个矢量的长度可写为,2.3克里斯朵夫（Christoffel）联络

2、1、定义：能保持平移矢量长度不变的对称联络 克氏联络 2、表达式： 且有 即黎曼空间度规张量的协变微分为零。,3、局域惯性系 广义相对论中所讨论的空间通常都是无挠的黎曼空 间（即联络为对称的） 定义：在空间任一点P的邻域内，若其联络 则该领域叫做一个局域惯性系。 若 则有 为常数平坦空间可以定义惯性系！,定理：对无挠的黎曼空间，若在坐标 下 P点的联络为 ，则总可找到一坐标变换 ，使得,2.4黎曼空间中的测地线,ds为不变距离,1、曲线的固有长度,2、测地线 由测地线方程 将参量用固有长度参量代替，则s的切矢为 于是测地线方程写为,左= 右= 有 又,注意到 f(s)=0 s为仿射参量 故测地

3、线方程为 黎曼空间的测地线方程,2.5黎曼空间的曲率张量 1、性质 由于在黎曼空间联络是对称的（克氏联络），故有性质： （i） （ii） (iii) ( 反称),(iii) ( 反称) (iv) （ 反称） (v) （ 与 对称） (vi) （ 反称）,2、爱因斯坦张量 (i) 里契（Ricci）张量 （对称） (ii） 爱因斯坦张量 里契标量（坐标曲率）,2.7 李微商 李微商张量场在映射意义下的微商 映射一种对应操作（将空间中一点对应到另一点） 设 无穷的映射 无穷小量， 无穷小映射生成元,定义：张量T（x）的李微商可表示为 式中， 表示在映射下的张量平移； 为空间中映射的对应点,1、标量场 ， 定义 则 2、矢量场 设 式中，过P点的曲线为 则映射把 对应到,则 定义 则有,故有 易得： 李微商取决于被微商的张量和映射的无穷小生成元，李微商不需要联络。,例：计算度规张量的李微商，并将普通微商改为协变微商,2.8 等度规映射和凯林（Killing）矢量场 若（无穷小）映射使得空间两点（P,Q）的距离平方不变，即 则这种映射叫做等度规映射，其对应的（无穷

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