2.1 第3课时 三角形内角和与外角.ppt

1、2.1 三角形,第2章 三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第3课时 三角形内角和与外角,1.通过操作活动，发现三角形的内角和是180; 2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数;（重点、 难点） 3.了解三角形的外角及性质.,学习目标,我的形状最小，那我的内角和最小.,我的形状最大，那我的内角和最大.,不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.,一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.,导入新课,情境引入,思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180呢?,折叠,还可以用拼接的方法，你知道怎

2、样操作吗？,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.,你能用数学的方法说明这个结论吗？,还有其他的拼接方法吗？,讲授新课,探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.,验证结论,三角形三个内角的和等于180.,说明：A+B+C=180.,已知：ABC.,方法1：过点A作lBC， B=1. (两直线平行,内错角相等) C=2. (两直线平行,内错角相等) 2+1+BAC=180， B+C+BAC=180.,1,2,方法2：延长BC到D，过点C作CEBA， A=1 . (两直线平行，内错角相等) B=2. (两直线平行，同位角相等) 又1+2+ACB=180， A+B+ACB=180

3、.,E,D,E,D,F,方法3：过D作DEAC,作DFAB. C=EDB,B=FDC. (两直线平行，同位角相等) A+AED=180, AED+EDF=180， (两直线平行，同旁内角相补) A=EDF. EDB+EDF+FDC=180， A+B+C=180.,想一想：同学们还有其他的方法吗？,思考：多种方法证明三角形内角和等于180的核心是什么？,借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.,例1 如图，在ABC中， BAC=40 , B=75 ,AD是ABC的角平分线，求ADB的度数.,解：由BAC=40 , AD是ABC的角平分线，得,BAD= BAC=20 .,在ABD中，

4、ADB=180-B-BAD =180-75-20 =85.,典例精析,【变式题】如图，CD是ACB的平分线，DEBC，A50，B70，求EDC，BDC的度数,解：A50，B70， ACB180AB60. CD是ACB的平分线， BCD ACB30. DEBC， EDCBCD30， 在BDC中，BDC180BBCD=80.,例2 如图，ABC中，D在BC的延长线上，过D作DEAB于E，交AC于F.已知A30，FCD80，求D.,解：DEAB，FEA90 在AEF中，FEA90，A30， AFE180FEAA60. 又CFDAFE， CFD60. 在CDF中，CFD60，FCD80， D180CF

5、DFCD40.,基本图形,由三角形的内角和易得A+B=C+D.,由三角形的内角和易得1+2=3+4.,总结归纳,例3 在ABC 中， A 的度数是B 的度数的3倍，C 比B 大15，求A，B，C的度数.,解: 设B为x，则A为(3x)， C为(x 15)， 从而有,3x x (x 15) 180.,解得 x 33.,所以 3x 99 ， x 15 48.,即 A， B， C的度数分别为99， 33， 48.,和差倍分问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.,一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？,因为三角形的内角和等于180，因此最多有一个直角或一个钝角.,三个角都是锐角

6、的三角形叫做锐角三角形；,锐角三角形,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.,钝角三角形,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；,直角三角形,直角边,直角边,斜边,A,B,C,直角三角形ABC可以写成RtABC；,两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形。,按角分,锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,按边分,不等边三角形（不规则三角形）,等腰三角形,三.三角形的分类,只有两条边相等的等腰三角形,等边三角形,斜三角形,在ABC中，A :B:C=1:2:3，则ABC是 _三角形 .,练一练：,在ABC中，A=35， B=43 ，则 C= .,在ABC中， A= B+10, C= A + 10,

7、 则 A= ， B= ， C= .,102,直角,60,50,70,定义 如图，把ABC的一边BC延长，得到ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.,ACD是ABC的一个外角,C,B,A,D,问题1 如图，延长AC到E,BCE是不是ABC的一个外角？DCE是不是ABC的一个外角？,E,在三角形每个顶点处都有两个外角.,ACD 与BCE为对顶角，ACD =BCE；,BCE是ABC的一个外角，DCE不是ABC的一个外角.,问题2 如图，ACD与BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？,画一画 画出ABC的所有外角，共有几个呢?,每一个三角形都有6个外角

8、每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.,三角形的外角应具备的条件：,角的顶点是三角形的顶点； 角的一边是三角形的一边； 另一边是三角形中一边的延长线.,ACD是ABC的一个外角,每一个三角形都有6个外角,总结归纳,F,A,B,C,D,E,如图, BEC是哪个三角形的外角？AEC是哪个三角形的外角？EFD是哪个三角形的外角？,BEC是AEC的外角;,AEC是BEC的外角;,EFD是BEF和DCF的外角.,练一练,问题1 如图，ABC的外角BCD与其相邻的内角 ACB有什么关系？,BCD与ACB互补.,问题2 如图，ABC的外角BCD与其不相邻的两内角(A，B)有什么关系？,A+B+

9、ACB=180，BCD+ACB=180， A+B=BCD.,你能用作平行线的方法证明此结论吗？,D,解：过C作CE平行于AB，,A,B,C,1= B， （两直线平行，同位角相等）,2= A ， （两直线平行，内错角相等）,ACD= 1+ 2= A+ B.,已知：如图，ABC，试说明：ACD=A+B.,验证结论,三角形外角的性质：,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.,应用格式： ACD是ABC的一个外角 ACD= A+ B.,知识要点,练一练：说出下列图形中1和2的度数：,1=40 , 2=140 ,1=18 , 2=130 ,例4 如图,A=42,ABD=28,ACE=18,求BFC

10、的度数., BEC是AEC的一个外角，, BEC= A+ ACE，,A=42 ，ACE=18，, BEC=60., BFC是BEF的一个外角，, BFC= ABD+ BEF，, ABD=28 ，BEC=60，, BFC=88.,解：,F,A,C,D,E,B,例5 如图，P为ABC内一点，BPC150， ABP20，ACP30，求A的度数,解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出A的度数,E,解：延长BP交AC于点E， 则BPC，PEC分别为PCE，ABE的外角， BPCPECPCE， PECABEA， PECBPCPCE 15030120. APEC

11、ABE12020100.,【变式题】 (一题多解)如图，A=51，B=20， C=30，求BDC的度数.,思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.,解法一：连接AD并延长于点E. 在ABD中，1+ABD=3， 在ACD中，2+ACD=4. 因为BDC=3+4，BAC=1+2， 所以BDC=BAC+ABD+ACD =51 +20+30=101.,E,),),1,2,),3,),4,你发现了什么结论？,E,),1,解法二：延长BD交AC于点E. 在ABE中，1=ABE+BAE， 在ECD中，BDC=1+ECD. 所以BDC =BAC+ABD+ACD =51 +20+30=101.,

12、解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.,),2,F,如图 ，试比较2 、1的大小；,如图 ，试比较3 、2、 1的大小.,图,图,解：2=1+B, 21.,解：2=1+B, 3=2+D, 321.,拓展探究,三角形的外角大于与它不相邻的内角.,当堂练习,1.求出下列各图中的x值,x=70,x=60,x=30,x=50,2.（1）如图，BDC是_ 的外角,也是 的外角； (2)若B=45 ， BAE=36 , BCE=20 ,试求AEC的度数.,A,B,C,D,ADE,ADC,解：根据三角形外角的性质有 ADC= B+ BCE, AEC= ADC+ BAE. 所以AEC= B+BCE+ BAE =45 +20 +36 =101 .,解：因为ADC是ABD的外角.,3 .如图，D是ABC的BC边上一点,B=BAD, ADC=80，BAC=70，求： （1）B 的度数；（2）C的度数.,在ABC中，,B+BAC+C=180，,C=180-40-70=70.,所以ADC=B+BAD=80.,又因为B=BAD，,A,B,C,D,4.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,A+ADE=180，B=78，C=60，求EDC的度数,解：A+ADE=180， ABDE， CED=B=78