直线的交点坐标与距离公式.ppt

1、第二节 直线的交点坐标与距离公式,1.两条直线的交点,唯一解,无解,有无数组解,2.三种距离,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.( ) (2)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 ( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的 距离.( ) (4)若点A，B关于直线l :y=kx+b(k0)对称，则直线AB的斜率 等于 且线段AB的中点在直线l上.( ),【解析】(1)错误，当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合. (2)错误，应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一

2、般式，即本问题的距离为 (3)正确，因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离. (4)正确，因为线段AB被直线l垂直平分. 答案:(1) (2) (3) (4),1.已知点(a,2)(a0)到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a等 于( ) (B) (C) (D) 【解析】选C.由 且a0，得,2.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点， 则点(m,n)可能是( ) (A)(1，-3) (B)(3，-1) (C)(-3，1) (D)(-1，3) 【解析】选A.由 m+2n+5=0，点(m,n)可能是(1，-3).,3.点(a,b)关于直线x+y+1

3、=0的对称点是( ) (A)(-a-1,-b-1) (B)(-b-1,-a-1) (C)(-a,-b) (D)(-b,-a) 【解析】选B.设对称点为(x,y)，则 解得：x=-b-1，y=-a-1.,4.已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=_. 【解析】依题设及两点间的距离公式得： 解得a=8. 答案:8,5.平行线l1：3x-2y-5=0与l2: 之间的距离为_. 【解析】直线l2可化为：3x-2y+ =0，由平行线间的距离公式 得： 答案:,考向 1 直线的交点 【典例1】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点， 且垂直于直线l3:3x-

4、5y+6=0的直线l的方程. 【思路点拨】可先求出两条直线的交点坐标，再用点斜式 求解；也可用与直线垂直的直线系方程或过两条直线交点 的直线系方程求解.,【规范解答】方法一：先解方程组 得l1，l2的交点坐标为(-1，2)， 再由l3的斜率 求出l的斜率为 于是由直线的点斜式方程求出l： 即5x+3y-1=0.,方法二：由于ll3，故l是直线系5x+3y+C=0中的一条， 而l过l1，l2的交点(-1，2)， 故5(-1)+32+C=0，由此求出C=-1， 故l的方程为5x+3y-1=0.,方法三：由于l过l1，l2的交点，故l是直线系 3x+2y-1+(5x+2y+1)=0中的一条， 将其整

5、理，得(3+5)x+(2+2)y+(-1+)=0. 其斜率 解得 代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.,【拓展提升】 1.两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.,2.常见的三大直线系方程 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR 且mC). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR). (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系 方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R)，但不包括l2.,【

6、变式训练】(1)已知直线方程为(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0， 求证：无论a为何实数值，直线必过定点，并求出该定点的坐 标.,【解析】原方程可化为x-2y+5+a(2x+3y-18)=0， 它表示过直线x-2y+5=0与直线2x+3y-18=0交点的直线系方程， 无论a取何值它都过两直线的交点，由 所以直线过定点(3，4).,(2)当m为何值时，三条直线l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0, l3：2x-3my-4=0能围成一个三角形? 【解析】三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点. 当m0时，有,又因为l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0的交点为(1,-1)

7、， 所以2+3m-40，解得 当m=0时，l3:2x-4=0,l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0,l1与l3的交点为 (2,-5)，l1与l2的交点为(1,-1),l2与l3的交点为(2,-2)， 能构成三角形，符合题意. 综上可知：,考向 2 三种距离公式的应用 【典例2】(1)(2012北京模拟)在OAB中，O为坐标原点，A(1，cos )，B(sin ，1)，则OAB的面积的取值范围 是( ),(2)圆C：x2+y2=4上的点到直线l:3x+4y-20=0距离的最大值为_. (3)已知直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0互相平行，且l1,l2之间的距离为 求直线l

8、1的方程.,【思路点拨】(1)利用两点间距离公式求出|OA|，再利用点到 直线的距离公式求出点B到直线OA的距离d.然后将SOAB表示成 的函数再求范围. (2)利用几何性质，只需先求圆心到直线l的距离，再加上半径 即得. (3)先由l1l2,求出m的值，再根据l1,l2之间的距离为 求出n 的值，即得l1的方程.,【规范解答】(1)选D.由两点间距离公式得 又直线OA的斜率 直线OA的方程为y=xcos ，即xcos -y=0， 点B(sin ，1)到直线OA的距离,(2)圆C：x2+y2=4的圆心(0，0)到直线l:3x+4y-20=0的距离 直线l与圆C相离, 最大值为4+2=6. 答案

9、:6,(3)l1l2， 当m=4时，直线l1的方程为4x+8y+n=0，把l2的方程写成4x+8y-2=0， 解得n=-22或n=18. 所以，所求直线的方程为2x+4y-11=0或2x+4y+9=0.,当m=-4时，直线l1的方程为4x-8y-n=0，l2的方程为 4x-8y-2=0， 解得n=-18或n=22. 所以，所求直线的方程为2x-4y+9=0或2x-4y-11=0.,【互动探究】本例题(2)中圆C变为椭圆C： 则最大 值如何？ 【解析】设与l:3x+4y-20=0平行且与椭圆相切的直线l的方 程为：3x+4y+c=0(c-20)， 由 消去y得关于x的一元二次方程为 18x2+6

10、cx+c2-144=0, =(6c)2-418(c2-144)=0， 解得,数形结合得最大距离为l:3x+4y-20=0与3x+4y+ =0间的距 离，,【拓展提升】 1.三种距离的求法 (1)两点间的距离 设点A(xA,yA),B(xB,yB)， 特例：ABx轴时，|AB|=|yA-yB|； ABy轴时，|AB|=|xA-xB|.,(2)点到直线的距离 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式. (3)两平行直线间的距离 利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式.,【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离

11、时,要注意两平行直线方程中x，y的系数必须相等.,2.解析几何中最值问题的两大求解思想 (1)函数思想：选变量构建目标函数，转化为求函数的最值. (2)数形结合思想：利用待求量(式)的几何意义，数形结合求解.,【变式备选】已知点A(2，-1)， (1)求过点A且与原点距离为2的直线l的方程. (2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点A且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.,【解析】(1)当斜率不存在时，直线l的方程为x=2，此时， 原点到直线l的距离为2，符合题意； 当斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x-2)，即 kx

12、-y-2k-1=0，由已知得 解得 此时直线l的方程为3x-4y-10=0, 综上可知：直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.,(2)过点A且与原点O距离最大的直线是过点A与AO垂直的直线， 由lAO，得klkOA=-1，所以 由直线的点斜式得 y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0，即直线2x-y-5=0是过点A且与原点 距离最大的直线l的方程，最大距离是,(3)由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过 的直线， 因此不存在过点A且与原点距离为6的直线.,考向 3 对称问题 【典例3】已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1,-2).求： (1)点A关于直线l的对称点A的坐标. (

13、2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程. (3)直线l关于点A的对称直线l的方程.,【思路点拨】(1)设出对称点A的坐标，利用线段AA被直线l垂直平分，构建方程组求解. (2)可设法找到m上两个点的坐标，再由两点式求出方程. (3)可设法找到两个点的坐标，即可求出直线l的方程；或利用对称性得ll，利用待定系数法求直线l的方程；也可在l上任取一点，利用该点关于点A的对称点在直线l上得出方程.,【规范解答】(1)设对称点A的坐标为(m,n)，由已知可得,(2)在直线m上取一点，如B(2，0)，则B关于l的对称点必 在m上. 设对称点为B(a,b), 则由 得,设m与l的交点为N

14、， 由 得N(4，3). 又m过N点，由两点式得直线m的方程为 即9x-46y+102=0.,(3)方法一：在l：2x-3y+1=0上任取两点，如M(1，1)，N(4，3). 则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上. 易知M(-3，-5)，N(-6，-7)，由两点式可得l的方程为 2x-3y-9=0. 方法二：ll，可设l的方程为2x-3y+c=0(c1). 点A到两直线的距离相等，由点到直线的距离公式得 得c=-9， l的方程为2x-3y-9=0.,方法三：设P(x,y)是l上任一点，则P(x,y)关于点A(-1，-2)的对称点为P(-2-x,-4-y). 点P在直线l上， 2(-2-x

15、)-3(-4-y)+1=0. 整理得2x-3y-9=0. l的方程为2x-3y-9=0.,【拓展提升】 1.中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M(x1,y1)及N(x，y)关于P(a,b)对称，则由中点坐标公式得 进而求解.,(2)直线关于点的对称，主要求解方法是： 在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于 已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 求出一个对称点，再利用l1l2，由点斜式得到所求直线 方程.,2.轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称： 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称，则线

16、段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴 l，由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0，x1x2).,(2)直线关于直线的对称： 一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.,【变式训练】在ABC中，BC边上的高所在的直线方程为 x-2y+1=0,A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐 标为(1，2)，求点A和点C的坐标.,【解析】如图， 由 得 A(-1,0).,y=0是A的平分线， 点B关于y=0的对称点B(1，-2)在直线AC上， 直线AC的方程为 即y=-x-1. 又BC的

17、方程为y-2=-2(x-1)，即y=-2x+4. 由 点C(5，-6). 综上，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(5，-6).,【创新体验】“距离”创新问题 【典例】(2013长沙模拟)已知点A(0，2)，B(2，0).若点C在函数y=x2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为 ( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1,【思路点拨】,【规范解答】选A.设点C(t,t2)，直线AB的方程是x+y-2=0， |AB|= 由于ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的 高h满足方程 即 由点到直线的距离公式 得 即|t2+t-2|=2，即t2+t-2=2或者t2+t-2=-2.

18、因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有 4个.,【思考点评】 1.方法感悟：本题充分体现了转化与化归思想和函数与方程思想在解题中的应用，即通过转化将点C的个数问题转化为关于点C的横坐标方程解的个数问题求解，这种将“形”转化为“数”的思想方法值得我们仔细体会.,2.技巧提升：对于“距离”类创新问题，常见的类型有：求有关长度或三角形面积的最值问题，或知长度、三角形面积情况探究点的个数以及与圆位置有关的问题等，常用的思想方法有数形结合、转化与化归及函数与方程思想.“距离”的创新问题虽然问法新颖，但考查的还是距离公式的应用，解题的关键是将所求问题转化为熟悉的问题求解.,1.(2013郑州

19、模拟)若直线l与直线y=1和x-y-7=0分别交于点 M，N，且线段MN的中点为P(1，-1)，则直线l的斜率等于( ) 【解析】选B.设l与y=1交于点M(m,1)，l与x-y-7=0交于点 N(n+7，n). 由中点坐标公式得m=-2,n=-3，即M(-2，1)， kPM=,2.(2013淮北模拟)直线2x-y+1=0关于直线x=1对称的直线方 程为( ) (A)x+2y-1=0 (B)2x+y-1=0 (C)2x+y-5=0 (D)x+2y-5=0 【解析】选C.直线2x-y+1=0上任取一点A(0，1)关于x=1的对称 点B(2，1)在所求直线上，又所求直线经过2x-y+1=0与x=1的交 点C(1，3)，kBC= ，所求直线方程为y-1=-2(x- 2)，即2x+y-5=0.,3.(2013泉州模拟)过点A(1，2)且与原点距离最大的直线方 程为( ) (A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0 (C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0 【解析】选A.所求直线过点A且与OA垂直时满足条件，而 kOA=2，故所求直线的斜率为