中值定理与导数的应用.ppt

1、第一节.中值定理,第三章 中值定理与导数的应用,令,等号仅在a=b时成立！,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求 极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,极限不存在,正确做法：,型,泰勒公式 是将一个函数表达成多项式的形式 多项式 是各类函数中最简单的一种。用多项式 近似表达函数是近似计算和理论分析 中的一个重要内容,我们来找系数与f(x)的导数之间的关系,f(x)可以写成,泰勒(Taylor)中值定理,如果函数f(x)在含有的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数 则当x在(a,b)内时，f(x)可以表示为 的一个n次多项式与一个余项 之和：,(3),其中：,(4),

2、这里是与 之间的某个值。,拉格朗日余项,皮亚诺余项,解：,令：x=1,即用,代替e的值,其误差不超过0.000001,当n=9时,解：,其中：,则：,其误差为：,m=2,m=3,若：,m=1,若：,解：,解：,我们讲的是在点，一阶导数为零的情况。其实一阶导数不存在的点也有可能为极值点，对于这些点同样可用定理2的办法来计算。,我们知道闭区间a,b上的连续函数总存在最大值和最小值，那么怎样找出这些最大值和最小值呢？,第七节.曲线的凹凸性与拐点,从图形上看很能理解,上凹（下凸）,下凹（上凸）,定义1.,设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点恒有： 那末称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹

3、弧);如果恒有: 那末称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)。,拐点,若曲线c上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线c的渐近线。,函数图象的讨论,函数图象讨论的程序是：,确定函数的定义域,1.,2.,考察函数的奇偶性，周期性,3.,确定函数的某些特殊点，如与两坐标轴的交点,4.,确定函数的单调区间，极值点,凹凸的区间以及拐点.,5.,考察渐近线,根据上述讨论结果最后画出函数的图象,-2,二.成本,某产品的总成本 是指一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格费用总额，它由固定成本与可变成本组成。 平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的

4、成本。 边际成本是总成本的变化率。,三.收益,总收益生产出售一定量产品所得到的全部收入。 平均收益生产者出售一定量产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。 边际收益总收益的变化率。 总收益，平均收益，边际收益均为产量的函数。,设P为商品价格，Q为商品量，R为总收益，为平均收益，R为边际收益。 需求函数 总收益函数 平均收益函数,边际收益函数,例1.设某产品的价格与销售量的关系为 P=10-Q/5,求销售量为30时的总收 益，平均收益与边际收益。 解：,下面讨论最大利润原则 设总利润为L，则,取得最大值的必要条件：,即：,边际收益边际成本,取得最大利润的充要条件：,例2.已知某产

5、品的价格与销售量的关系为 ，成本函数为C=50+2Q 求：产量为多少时，总利润最大？ 并验证是否符合最大利润原则 解：,即：,又：,符合最大利润原则,例3.某工厂生产某种产品，固定成本 20000元，每生产一单位产品，成本 增加100元 。已知总收益是年产 量的函数,问：每年生产多少产品时，总利润最大？ 此时总利润是多少？,解：根据题意，总成本函数为,从而可得总利润函数为,分段点可用定义证,又：,令：,则：,Q=300,L最大,四.函数的相对变化率函数的弹性,例：商品甲每单位价格10元，涨价1元。商品乙每单位价格1000元，也涨价1元。两种商品价格的绝对改变量都是1元，但各与其原价相比，两者涨

6、价的百分比却有了很大的不同，商品甲涨了10%，而商品乙涨了0.1%。 因此我们还有必要研究函数的相对改变量与相对变化率。,例如：，当x由10改变到12时，y由100改变到144，此时，自变量与因变量的绝对改变量 分别为 而，这表示当x=10改变到12，x产生了20%的改变，y产生了44%的改 变，这就是相对改变量。,这表示在(10,12)内从x=10，x改变1%时，y平均改变2.2%。 我们称它为x=10到x=12,函数的平均相对变化率。,定义：设函数f(x)在处可导，函数的相对改变量 与自变量的相对改变量之比 称为函数f(x)从到两点间的相对变化率或两点间的弹性。,称为f(x)在 处的相对变

7、化率或称为弹性,记作：,对一般x，若f(x)可导，则有：,是x的函数，称为f(x)的弹性函数。,例1.求函数y=3+2x在x=3处的弹性 解：,例2. 求函数 的弹性函数及,解：,例3.求函数（为常数）的弹性函数,解：,五.需求函数与供给函数,需求函数 设表示商品价格，表示需求量 Q=f(p)称为需求函数 一般说来，商品价格低，需求大，商品价格高，需求小， 因此，一般需求函数Q=f(p)为单调减少函数。,有反函数,也称为需求函数,需求函数Q=f(p)的边际函数Q=f(p)称为 边际需求,例:若已知需求函数，则边际需求函 数为 Q(8)=-4,称为P=8时的边际需求 即，当P=8价格上涨一个单位

8、时，需求将减少4个单位。,供给函数 设P表示商品价格，Q表示供给量， 称为供给函数 一般地，商品价格低，生产者不愿生产，供给少。商品价格高供给多，因此一般供给函数为单调增加函数 有反函数,也称为供给函数,均衡价格 均衡价格是指市场上需求量与供给量相等时的价格。设均衡价格为 ,则需求量 与供给量为称为均衡产品量。 例1.设某商品的需求函数为Q=b-aP(a,b0),供给 函数Q=cp-d(c,d0) 求：均衡价格 解：,六.需求弹性与供给弹性,需求弹性是刻划当商品价格变动时需求变动的强弱 定义：需求函数Q=f(p)在处可导，则,称为在，两点间的,需求弹性。,记作：,而：,称为在,处的需求弹性，记

9、作：,例2.设某商品需求函数为 ,求： 1)需求弹性函数 2)P=3, P=5, P=6 时的需求弹性,解：,(1),(2),，说明当P=5时，价格与需求变动的幅度相同。,，说明当P=3时，需求变动的幅度小于价格变动的幅 度。即：P=3时，价格上涨了1%，需求只减少0.6%。,，说明当P=6时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度 即：P=6时，价格上涨了1%，需求减少了1.2%。,定义2.某商品供给函数在可导， 称为两点间的供给弹性。,记作：,称为在处的供给弹性,记作：,例：设某商品需求函数为Q=f(P)=12-P/2 求需求弹性函数 求P=6时的需求弹性 在P=6时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？ 将变化百分之几？ P为何值时，总收益最大？最大的总收益是多少？,解：,(1),(2),(3),价格上涨，收益减少；,，取得最大值。,，所以价格上涨1%，总收益将增加,下面求R增长的百分比，即求R的弹性。,当P=6时，价格上涨!%，总收益约增加0.67%,(4),所以当P=12时，总收益最大，最大总收益为72.,作业,补充题：（赵树源P121） 1.某化工厂日产能力最高为1000吨，每日产品 的总成本C（单位：元）是日产量x（单位:吨）的函数。 2.设某产品生产x单位的总收益R为x的函数 求：生产5