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1、高等数学多媒体课件,制作人：聂水晶,第五章 不定积分,第一节 不定积分的概念与性质,微分,积分,如：已知SS(t)，求V(t) ,已知VV(t)，求S(t) ,微分,积分,1 运算角度,一、问题的引入,2 实际问题,即：微分的逆运算是积分,例,1.定义:,二、原函数,是 的一个原函数.,问题: 1.原函数何时存在? 2.有多少个? 3.怎样求?,2. 原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1) 原函数是否唯一？,例,（ 为任意常数）,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,3. 原函数结构定理：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意

2、常数）,证,（ 为任意常数）,即：如果函数有一个原函数，则必有无穷多个原函数，且它们之间只相差一个常数，因而，广义地讲，一个函数的原函数只有一个。,全体原函数 任意一个原函数,1. 不定积分的定义：,即：,三、不定积分,例1 求,解,解,例2 求,2. 不定积分的几何意义 一簇曲线,初始条件：在f (x)的所有原函数中确定一个的条件.,例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,3. 不定积分的性质 性质1 求不定积分和求导数、微分互为逆运算,性质2,性质3,(先积后微，形式不

3、变；先微后积，相差常数）,23,=,注：,基本积分表(1):,5.2 基本积分公式与直接积分法,基本积分公式要熟记,基本积分公式要熟记,例2 求积分,例1 求积分,注:最后结果在没有积分号时要加C,例3 求积分,解,例4,例5 求积分,解,例6 求积分,解,例7 求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,解,所求曲线方程为,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,小结,直接积分法,思考题,符号函数,在(, +)内是否存在原函数？为什么？,解答,假设有原函数F(x)，则,故假设错误,即f (x)在(, +)内不存在原函数.,结论,含有第一类间断点的函数都没有原函数.,由“F(x)可导必连续”得:,C1C2F(0),但F(x)在x0不可导,提示：化分数指数,提示：用除法,练习：,提示：用除法,提示：用除法,提示：用三角公式,提示：用三角公式,提示：用三角公式,提示：用三角公式,提示：拆项,谢谢观赏,WPS Office,M

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