2-4-2-抛物线的简单几何性质

1、1知识与技能 能根据抛物线的方程推导它的几何性质 2过程与方法 能应用抛物线的性质解决有关问题 归纳，对比四种方程表示的抛物线几何性质的异同,重点：抛物线的几何性质 难点：抛物线几何性质的运用 1抛物线与椭圆、双曲线的重要区别是：只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线，没有中心和渐近线 2不能把抛物线看作是双曲线的一支虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线,3为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论 4在抛物线的几何性质中，应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标，在解题时，应先

2、注意开口方向、焦点位置，选准标准形式，然后运用条件求解 5要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化,1抛物线四种标准形式与图象的对应关系,2焦半径 抛物线上一点与焦点F连线的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为,3.焦点弦问题 如图所示：AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.,1范围因为p0，由方程y22px(p0)可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足等式所以这条抛物线在y轴的 侧；当x的值增

3、大时，|y|也 ，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口 2对称性以y代y，方程y22px(p0)不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的,增大,右,越开阔,轴,3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的在方程y22px(p0)中，当y0时，x0，因此这条抛物线的顶点就是 4离心率抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的 ，用e表示，按照抛物线的定义，e.,顶点,坐标原点,离心率,1,例1正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长,等腰RtABO内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，O

4、AOB，则ABO的面积是 () A8p2B4p2 C2p2Dp2 答案B,分析首先确定抛物线形式是解决此类问题的前提,若抛物线以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点M(2，4)，则抛物线的方程为_ 答案y28x或x2y 解析由于点P在第三象限，故抛物线方程可设为：y22px或x22py. 由于过点M(2，4)，分别代入得，162p(2)，42p(4)， 所求抛物线的方程为y28x或x2y.,例3(1)设P(x0，y0)是抛物线y22px(p0)上任一点，F为其焦点，求证：|PF|x0 ； (2)设AB是过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证|AB|x1

5、x2p.,已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且x1、x2、x3成等差数列，则有 () A|FP1|FP2|FP3| B|FP1|2|FP2|2|FP3|2 C2|FP2|FP1|FP3| D|FP2|2|FP1|FP3| 答案C,例4如图，是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑已知镜口直径为12m，镜深2m. (1)建立适当的坐标系， 求抛物线的方程和焦点坐标； (2)若把盛水和食物的容器 近似的

6、看作点， 试求每根铁筋的长度,解析(1)如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径 由已知，得A点坐标是(2,6)， 设抛物线方程为y22px(p0)，则362p2，p9. 所以所求抛物线的标准方程是y218x.,(2)盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长 故每根铁筋的长度是6.5m.,汽车前灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分如图(1)，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离是_,答案3.6cm 解析取反射镜的轴即抛

7、物线的轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系，如图(2) 灯口直径|AB|24，灯深|OP|10， 点A的坐标是(10,12) 设抛物线的方程为y22px(p0) 因为点A(10,12)在抛物线上， 1222p10，p7.2. 抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0) 因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6cm.,例5设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，求抛物线的方程,辨析错因只考虑到了m0的情况，而m0时也可以满足条件因此，求抛物线方程时，要考虑各种情况，以免遗漏,一、选择题 1动点P到直线xy40的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是() A直线B抛物线 C椭圆 D双曲线 答案A 解析M(2,2)在直线xy40上，而|PM|即为P到直线xy40的距离 动点P的轨迹为过点M垂直于直线xy40的直线故选A.,2(09湖南文)抛物线y28x的焦点坐标是 () A(2,0)B(2,0) C(4,0) D(4,0) 答案B 解析y28x的焦点在x轴的负半轴上，,答案B,二、填空题 4顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是_ 答案y224x或y224x 解析顶点与焦点距离为6， 即 6，2p24， 又对称轴为x轴， 抛物线方程为y224x或y224x.,5顶点在原点，焦点在x轴上且正焦弦(过焦点与对称轴垂