高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式同步配套教学案 新人教A版选修

1、三 排序不等式 对应学生用书P351顺序和、乱序和、反序和设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn为b1，b2，bn的任一排列，称a1b1a2b2anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bna2bn1anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)称a1c1a2c2ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)2排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式)设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn为b1，b2，bn的任一排列，则有a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，等号成立(反序和等于顺序和)

2、a1a2an或b1b2bn.排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和说明排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小 对应学生用书P35例1已知a，b，c为正数，且abc，求证：.思路点拨分析题目中已明确abc，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可证明ab0，于是，又c0，从而，同理，从而.又由于顺序和不小于乱序和，故可得.所以原不等式成立利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组1已知0(sin 2sin 2sin 2)证明：0，

3、且ysin x在为增函数，ycos x在为减函数，0sin sin cos cos 0.sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)2设x1，求证：1xx2x2n(2n1)xn.证明：x1，1xx2xn.由排序原理得12x2x4x2n1xnxxn1xn1xxn1即1x2x4x2nn(n1)xn.又因为x，x2，xn,1为1，x，x2，xn的一个排列由排序原理得：1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1得xx3x2n1xn(n1)xn将相加得1xx2x2n(2n1)xn.用排序不等式证明不等式(对

4、所证不等式中的字母大小顺序作出假设)例2在ABC中，试证：思路点拨可构造ABC的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明证明不妨设abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)，得.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系3设a，b，c都是正数，求证：abc.证明：由题意不妨设abc0，由不等式的单调性，知abacbc，.由排序不等式，知abacbcabacbc，即所证不等式abc成立4设

5、a1，a2，an是1,2，n的一个排列，求证：.证明：设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1；c1，c2，cn1是a2，a3，an的一个排列，且c1c2且b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n.利用排序不等式，有.原不等式成立 对应学生用书P361有一有序数组，其顺序和为A，反序和为B，乱序和为C，则它们的大小关系为()AABCBACBCABC DACB解析：由排序不等式，顺序和乱序和反序和知；ACB.答案：B2若Axxx，Bx1x2x2x3xn1xnxnx1其中x1x2，xn都是正数，则A与B的大小关系为()AAB BA0，则AB0，由排序不等式2

6、(aAbB)a(AB)b(AB)(ab)，aAbB(ab)答案：aAbB(ab)8设a1，a2，a3为正数，求证：(aaa)(a1a2a3)3a1a2a3.证明：不妨设a1a2a30，于是，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式：顺序和乱序和，得a2a3a3a1a1a2a3a1a2，即3a1a2a3(aaa1)2(a3a2a1)9某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m分钟，第二人投n分钟，第三人投p分钟，某班级三名运动员A，B，C每分钟能投进的次数分别为a，b，c，已知mnp，abc，如何派三人上场能取得最佳成绩？解：mnp，abc，且由排序不等式知顺序和为最大值，最大值为manbpc，此时分数最高，三人上场顺序是A第一，B第二，C第三10设x，y，z为正数，求证：xyz