高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第二课时 等比数列的性质学案（含解析）新人教A版必修

1、第二课时等比数列的性质等比数列性质的应用例1(1)在等比数列an中，若a7a8a9a10，a8a9，则_. (2)已知数列an是等比数列，a3a720，a1a964，求a11的值解(1)因为，由等比数列的性质知a7a10a8a9，所以.(2)an为等比数列，a1a9a3a764.又a3a720，a3，a7是方程t220t640的两个根t14，t216，a34，a716或a316，a74.当a34，a716时，q44，此时a11a3q844264.当a316，a74时，q4，此时a11a3q81621.答案(1) 类题通法等比数列常用性质(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq

2、.特例：若mn2p(m，n，pN*)，则amana.(2)qnm(m，nN*)(3)在等比数列an中，每隔k项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列(4)数列an为等比数列，则数列an(为不等于0的常数)和仍然成等比数列活学活用1在等比数列an中，若a22，a612，则a10_.解析：法一：设an的公比为q，则解得q46，a10a1q9a1q(q4)223672.法二：an是等比数列，aa2a10，于是a1072.答案：722在等比数列an中，若a72，则此数列的前13项之积等于_解析：由于an是等比数列，a1a13a2a12a3a11a4a10a5a9a6a8a，a1

3、a2a3a136a7a，而a72，a1a2a3a13(2)13213.答案：213灵活设元求解等比数列例2已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数解法一：设三个数依次为a，aq，aq2，由题意知即解得，得9q482q290，即得q29或q2，q3或q.若q3，则a11；若q3，则a11；若q，则a19；若q，则a19.故这三个数为1,3,9，或1,3，9，或9,3,1，或9,3，1.法二：设这三个数分别为，a，aq.得9q482q290，即得q2或q29，q或q3.故这三个数为1,3,9，或1,3，9，或9,3,1，或9,3，1.类题通法三个数或四个数成等比数列的设

4、元技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq.(2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设为，aq，aq3.活学活用在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为()A4或17B4或17C4 D17解析：选B设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.由a，20成等差数列得2a20.a2a200，解得a4或a5.当a4时，插入的两个数的和为a4.当a5时，插入的两个数的和为a17.等比数列的实际应用例3某工厂2016年1月的生产总值为a万元，计划从2016年2月起，每月生产总值比上一个

5、月增长m%，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？解设从2015年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an1ananm%，1m%.数列an是首项a1a，公比q1m%的等比数列ana(1m%)n1.2016年8月底该厂的生产总值为a20a(1m%)201a(1m%)19(万元)类题通法数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；通过归纳得到结论，再用数列知识求解活学活用(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A

6、1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；，依此类推设BAa1 ，AA1a2 , A1A2a3 ， A5A6a7 ，则 a7_.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，所以ABACa12，AA1a2，A1A2a31，A5A6a7a16.法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，所以ABACa12，AA1a2，An1Anan1sinanan2n，故a726.答案：等差数列和等比数列从文字看，只是一字之差，但定义和性质相差甚远，下面对两类数列的性质作一比对，若等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.【性质1】等差数

7、列an，当d0时，数列为常数列，当d0时，数列为递增数列；当d0时，数列为递减数列等比数列bn，当q1，b10或0q1，b10时，数列bn是递增数列；当q1，b10或0q1，b10时，数列bn是递减数列；当q1时，数列bn是常数列例1设an是首项大于零的等比数列，且a1a2a3，则数列an是_数列(填“递增”“递减”或“摆动”)解析设数列an的公比为q(q0)，因为a1a2a3，所以a1a1qa1q2，解得q1，且a10，所以数列an是递增数列答案递增【性质2】等差数列an满足anam(nm)d(m，nN*)，等比数列bn满足bnbmqnm(m，nN*)(当m1时，上述式子为通项公式)例2已知

8、an为等差数列，且a36，a60，则an的通项公式为_解析a6a33d，则063d，得d2，ana3(n3)d6(n3)22n12.答案an2n12【性质3】若mnpq(m，n，p，qN*)，等差数列an满足amanapaq，特别地，若数列an是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1ana2an1ai1ani(nN*)等比数列bn满足bmbnbpbq，特别地，数列bn是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即b1bnb2bn1b3bn2bmbnm1.例3(1)等差数列an的前n项和为Sn，若a3a1710，则S19的值是()A55

9、B95C100 D105(2)在等比数列an中，若a2a836，a3a715，则公比q值的个数可能为()A1 B2C3 D4解析(1)S1995.(2)a2a8a3a7，由解得a33，a712，或a312，a73.若a33，a712，则有123q4，q44，q22，q.若a312，a73，则有312q4，q4，q2，q.q的值可能有4个答案：(1)B(2)D【性质4】在等差(比)数列中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差(比)数列，公差为(k1)d(公比为qk1)，若两个数列分别成等差(比)数列，则两数列对应项和(积)构成等差(比)数列例4在1和16之间插入三个正数a，b，

10、c使1，a，b，c,16成等比数列，求abc的值解1，a，b，c,16成等比数列，1，b,16为等比数列b4.1，a，b也成等比数列，b，c,16也成等比数列a2，c8.abc24814. 随堂即时演练1将公比为q的等比数列an依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，.此数列()A是公比为q的等比数列B是公比为q2的等比数列C是公比为q3的等比数列D不一定是等比数列解析：选B由于qqq2，n2且nN*，anan1是以q2为公比的等比数列，故选B.2若1，a1，a2,4成等差数列；1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为()AB.C D.解析：选A1，a1，a2,4成等

11、差数列，3(a2a1)41，a2a11.又1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b144，且b21q2 0，b22，.3在等比数列an中，a8883，a89181，则公比q_.解析：a891a888q891888a888q3，q327.q3.答案：34在等比数列an中，各项都是正数，a6a10a3a541，a4a84，则a4a8_.解析：a6a10a，a3a5a，aa41，又a4a84，(a4a8)2aa2a4a841849.数列各项都是正数，a4a87.答案：75已知数列an为等比数列(1)若a1a2a321，a1a2a3216，求an；(2)若a3a518，a4a872，求公

12、比q.解：(1)a1a2a3a216，a26，a1a336.又a1a321a215，a1，a3是方程x215x360的两根3和12.当a13时，q2，an32n1；当a112时，q，an12n1.(2)a4a8a3qa5q3a3a5q418q472，q44，q.课时达标检测一、选择题1(重庆高考)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列解析：选D由等比数列的性质得，a3a9a0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.2已知等比数列an中，a47，a621，则a8的值为()A3

13、5B63C21 D21解析：选Ban是等比数列，a4，a6，a8成等比数列，aa4a8，即a863.3在等比数列an中，a11，a103，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于()A81 B27C3 D243解析：选A因为数列an是等比数列，且a11，a103，所以a2a3a4a5a6a7a8a9(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)(a1a10)43481.故选A.4设数列an为等比数列，则下面四个数列：a；pan(p为非零常数)；anan1；anan1其中是等比数列的有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选D3q3，a是等比数列；q，pan是等比数列；q2，anan1是等比数列

14、；q，anan1是等比数列5已知等比数列an中，a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，则b5b9等于()A2 B4C8 D16解析：选C等比数列an中，a3a11a4a7，解得a74，等差数列bn中，b5b92b72a78.二、填空题6公差不为零的等差数列an中，2a3a2a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8_.解析：2a3a2a112(a3a11)a4a7a0，b7a70，b7a74.b6b8b16.答案：167画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形

15、的面积等于_平方厘米解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列an(1n10，nN*)，则第10个正方形的面积Sa22292112 048(平方厘米)答案：2 0488在等比数列an中，a7a116，a4a145，则_.解析：an是等比数列，a7a11a4a146，又a4a145，或q10，q10或q10.而q10，或.答案：或三、解答题9在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积解：法一：设这个等比数列为an，公比为q，则a1，a5a1q4q4，q4，q2.a2a3a4a1qa1q2a1q3aq63363216.法二：设这个等比数列为an，公比为q，则a

16、1，a5，由题意知a1，a3，a5也成等比数列且a30，a36，a36，a2a3a4aa3a216.10始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解：设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列an，记a1147(7月份价格)，则8月份价格a2a1(1x)147(1x)，9月份价格a3a2(1x)147(1x)2.147(1x)297，解得x18.8%.设a

17、n34，则34147(118.8%)n1，解得n8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶11从盛满a(a1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a11.设操作n次后溶液的浓度为an，则操作(n1)次后溶液的浓度为an1an.an是以a11为首项，q1为公比的等比数列，ana1qn1n，即第n次操作后酒精的浓度是n.当a2时，由ann(nN*)，解得n4.故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.12有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中