3.3几类不同增长的函数模型1

1、我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述的，我们学过的函数模型有哪些呢？,指数函数 对数函数 幂函数 等等,对于实际问题，我们如何选择一个恰当的函数模型来刻画它呢？找出模型后又是如何去研究它的性质呢？,函数模型及其应用1,感知函数模型,1 学会利用函数图象及数据表格比较指数函数、 对数函数和幂函数的增长差异,2 感悟直线上升、指数爆炸、对数平稳增长 等不同函数模型增长的含义,3 初步学会用函数的三种表示方法解决一些实际 问题,了解函数模型的广泛应用,学习目标,典型例题,例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如

2、下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番 请问，你会选择哪种投资方案？,题目中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？,方案一：,方案二：,方案三：,我们来计算三种方案所得回报的增长情况：,1,2,3,40,40,40,0,0,10,20,30,10,10,0.4,0.8,1.6,0.4,0.8,底数为2 的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多从中你对“指数爆炸”的函义有什么新的理解？,你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？,下面再看累计的回报数：,结论：投资8天以下，应选择第

3、一种投资方案；投资810天，应选择第二种投资方案；投资11天以上，应选择第三种投资方案。,一,二,三,40,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11,80 120 160 200 240 280 320 360 400 440,10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660,0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8,例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而

4、增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型： 其中哪个模型能符合公司的要求？,题目中涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？,线性函数、对数函数、指数函数,对比三种函数的增长差异,y0.25X,一次函数,对数函数,指数函数,模型限制条件： 1.奖金总数不超过5万元 2.奖金不超过利润的25%,我们不妨先作出函数图象：,通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求。,x,y,o,y=5,y=0.25x,下面列表计算确认上述判断：,y,我们来看函数 的图象:,问题:当 时,奖金是否不超过利润的25%呢?,3. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一

5、开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，如图所示，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合这位学生走法的图形是（ ）,A,C,D,B,D,4.向高为H的水瓶中注水，注满为止，若注水量V与水深h的关系如图所示，则水瓶的形状是哪个？,A,B,C,D,一般地，对于指数函数 （a 1)和幂函数 (n 0)，可以发现，在区间（0，+ ）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内， 会小于 ，但由于 的增长快于 的增长，因此总存在一个 ，当X 时，就会有 。,一般地，对于对数函数 （a 1)和幂函数 (n 0)，可以发现，在区间（0，+ ）上，在x的一定范围内， 可能会大于 ，但由于 的增长慢于

6、的增长，因此总存在一个 ，当X 时，就会有 。,结论：,都是增函数，但它们的增长速度不同,不在一个“档次”上,因此总存在一个 ，当X 时，就会有 .,5某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加，若在 某个时刻这种细菌的个数为200个，按照每小时成倍 增长，如下表：,问：实验开始后5小时细菌的个数是多少？,解：设实验时间为x小时，细菌数为y个，依题意有,20020020，,40020021，,80020022，,160020023,此实验开始后5小时，即x5时，细菌数为 200256400（个）,从而，我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式，即y2002x（xN）,6：如图， 是边长为

7、2的正三角形，这个三角形在直线 的左方被截得图形的面积为 ，求函数 的解析式及定义域,x,y,0,t,A,B,x,y,0,t,A,B,7：某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元售出时每天可销售50件,现在他采用提高价格销售,减少进货量的办法增加利润,己知商品每件售价每提高1元,其日销售量就减少5件,为使每天赚得的利润最大,它的定价应为多少元?,每日利润=日销售总价 -日销售的进货总价,答 (略),即商品定价为10 + 4 =14 (元时,日利润最大.,y有最大值180(元),当 x= 4(元)时 ,= -5(x - 4 )2 + 180,= - 5x2 + 40 x + 100,y=(10 + x )(50 - 5x) - 8(50 - 5x),解:,