第二章 假设检验.ppt

1、第二章 假设检验,邹昌文,假设检验的基本思想,从三个实例看假设检验的基本思想,例1：某车间用包装机装葡萄糖，按照标准，每袋平均净重应为0.5kg，现抽查9袋，测得净重（单位：kg）为 0.497,0.506,0.516,0.524,0.481,0.511,0.510,0.515,0.512,可认为净重,检验假设,Excel2.1,例3：已知某班学生的一次考试成绩，问学生的考试成绩是否服从正态分布？,例2：对于某种针织品的强度，在80度时，抽取5个样品，测得样本均值 ，样本标准差Sx=0.42；在70度时，抽取6个样品，测得样本均值 ，样本标准差Sy=0.30。设这种针织品的强度服从正态分布，问

2、在80度和70度时的平均强度是否相同？,假设检验的基本思想,提出假设 H0 检验假设（根据小概率原理）,假设检验的基本原理,问题：设总体 ，其中 (X1,X2,Xn)是 的样本 检验,分析：由Th1.1,取统计量,若H0为真，则,若H0不真，则,U相对N(0,1)会有一个向左或右的偏移,对假设检验： H0:=0, H1:0 因为 是的无偏估计 所以，若H0为真，则,不能太大,即：,为小概率事件,当H0为真,拒绝H0,接受H0,检验的两类错误和显著性水平,一类错误：=P拒绝H0|H0为真（拒真）,二类错误：=P接受H0|H0为假（纳伪）,例：设总体,其中方差已知,(X1,X2,.,Xn)是来自容

3、量为n的样本，在显著性水平之下检验假设,其中：,取统计量：,若H1为真，则,U有偏大的趋势,所以拒绝域形式应为：,则拒绝H0,则接受H0,计算犯两类错误的概率,=P接受H0|H1为真,H1为真时,令,检验的p值,统计量,设一组样本的观察值为u,称,为检验p值,若p，则在水平之下拒绝H0 若p， 则在水平之下接受H0,其中K为临界值,对,对,注意与拒绝域的形式一致,假设检验的基本步骤,设立统计假设 确定原假设H0和备择假设H1，从而确定使用双侧检验还是单侧检验 选择检验统计量 要求H0为真时，其分布确定并已知 规定检验水平 由设立的假设提出拒绝域的形式 结论 根据小概率原理对统计假设做出判断,正

4、态总体均值的假设检验,设总体 ，(X1,X2,.Xn)是来自X的一组样本，下讨论 已知时关于的检验（U检验）,考虑在显著水平a之下的以下三个假设,取检验统计量,考虑（2）H0不真（或H1为真）时U有偏大的趋势 所以拒绝域的形式为,P拒绝H0|H0为真,故只需,即可,求得,得拒绝域,对（3）有拒绝域,未知时关于的检验（t检验）,在水平a之下检验如下三个假设,取检验统计量,由Th1.4，当H0为真（即= 0）时,先考虑（1）,当H0不真（H1为真）时，,有偏大的趋势,拒绝域形式为,P拒绝H0|H0为真,对单边假设检验（2）、（3）同理可得拒绝域为,和,例2.2：某砖厂生产的砖其抗断强度X服从正态分

5、布，长期以来，砖的抗断强度的均值为30，今改进了生产工艺，新生产了一批砖，从中随机取出10块作抗断强度试验，测得其抗断强度为 30.8 32.6 29.7 31.6 30.2 31.9 31.0 29.5 31.8 31.4 试问：这批砖的抗断强度的均值是否较以往生产的砖有显著提高（a=0.05)?,解：,Excel2.2,两个正态总体均值差的检验（t检验）,设(X1,X2,Xm)是总体,的样本，,(Y1,Y2,Yn)是总体,的样本，两个样本,相互独立，总体中的参数,均未知考虑以下假设,取统计量,其中,由Th1.6,可得假设（1）的拒绝域为,同理可得（2）和（3）的拒绝域为,和,正态总体方差的

6、假设检验,单个正态总体方差的检验（卡方检验）,设总体,和,都未知，（X1,X2,Xn)是,来自总体X的样本，现考虑以下假设检验,取统计量,由Th1.2,对假设（1）拒绝域形式为,可求得,同理可分别求得假设（2）和（3）的拒绝域为,设(X1,X2,Xm)是总体,的样本，,(Y1,Y2,Yn)是总体,相互独立，总体中的参数,均未知考虑,两正态总体方差的检验（F检验）,以下假设,取统计量,由Th1.8,对假设（1），若H0为真，即,拒绝域形式为：,可求得,同理，对假设（2）和（3）可分别求得拒绝域为：,设有总体X，其分布形式不知道，但知道其一、二阶矩存在，记 。(X1,X2,.,Xn)是来自总体X的

7、样本，样本容量n(30)很大，在显著水平a下检验以下假设,非正态总体的参数假设检验,单个总体均值的检验（大样本，U检验）,其中0是已知常数,由中心极限定理当,所以取统计量,上述假设检验问题（1）、（2）、（3）的近似拒绝域分别为：,近似地服从N(0,1)分布,书中例3.2.6-3.2.8,时,两个总体均值的检验（大样本，U检验）,设有总体X和Y，其分布形式不知道，但知道其一、二阶矩存在，记 。(X1,X2,.,Xn1)和(Y1,Y2,.,Yn2)是来自总体X和Y的独立样本，这两组样本的样本均值和样本标准差分别是 这两组样本容量n1和n2都很大(30) ，在显著水平a下检验以下假设,由中心极限定

8、理,所以取统计量,近似地服从N(0,1)分布,上述假设检验问题（1）、（2）、（3）的近似拒绝域分别为：,例：某大城市为了确定城市家庭养猫灭鼠的效果，进行调查得： 养猫户：n1=119,有老鼠活动的有15户 无猫户：n2=418,有老鼠活动的有58户 问：养猫与不养猫对该大城市家庭灭鼠有无显著差异(a=0.05),解：设p1,p2分别是养猫户和无猫户中有老鼠活动的家庭所占百分比，可看着0-1分布即,问题转化为：在显著水平a=0.05下检验假设,即,非参数假设检验,总体分布函数的假设检验 独立性假设检验 两总体比较假设检验,几个实例P79,总体分布函数的假设检验,其中F0(x)为一个已知分布函数

9、,分布拟合 检验,在实轴上取k-1个点将实轴分成k个区间,设,记ni为X1,X2,Xn落入第i个区间的个数，则,时 与pi很接近,作统计量,有定理保证,拒绝域为：,P82例3.3.4-3.3.5,若F0(x)中含有未知参数,则用其最大似然估计,代替,统计量,拒绝域为：,Excel3.3.5,独立性假设检验,H0:X与Y独立，H1：X与Y不独立,独立性的 检验法,假设(X，Y)的联合分布函数为F(x,y)，边缘分布为Fx(x),Fy(y)，那么X与Y独立等价于,设X的可能值为x1,x2,xr;Y的可能值为y1,y2,ys,从总体(X,Y)中抽取一个容量为n的样本(X1,Y1),(X2,Y2),(

10、Xn,Yn),记nij(i=1,.,r,j=1,s)为事件X=xi,Y=yj发生的频数,记,有,获得rs列联表,此表将平面划为rs个互不相交的区域Aij，,记,原假设等价于,其中,均是未知参数，由极大似然估计得,得统计量,有,得近似拒绝域,书中例3.3.2，3.3.6,例3.3.2中,两个总体分布比较的假设检验,设Fx(x)、Fy(y)分别为连续型总体X、Y的分布函数，fx(x),fy(y)为其密度函数，都未知。X1,X2,.,Xn, Y1,Y2,Ym是分别来自于X和Y的样本，且相互独立，统计假设为,符号检验法,设两总体各抽样容量都为n的样本值(x1,x2,xn),(y1,y2,yn),对于x

11、i,yi有,当H0为真时，X和Y是独立同分布的连续型随机变量有,因此可假定,定义二元函数,则随机变量函数,由独立性及B(1,1/2)分布的可加性有,有,设,记为“+”，而“+”的个数记为n+,记为“-”，而“-”的个数记为n-,去除相等的部分Xi=Yi可得,当H0为真时,因此当H0为真时，n+与n-以很大的概率取n/2,若统计量S=min(n+,n-)比n/2小得多就应该拒绝H0,例3.3.7p88,秩的概念,定义：设X1,X2,Xn为来自连续型总体X的样本，x1,x2,xn是样本观察值，将其按由小到大排序为,如果xi=x(k)，则称xi的秩为k,xi的秩就是按观测值由小到大排列后xi所占位置的次序号数，若有几个xi相等，则取平均值,例：1,2,2,2,3,3 则3个2的秩是(2+3+4)/3=3;2个3的秩是(5+6)/2=5.5,秩和检验法,将X的一组样本观察值x1,x2,