高中数学第一章导数及其应用1.3第3课时函数的最大小值与导数学案新人教A版选修

1、1.3第三课时 函数的最大（小）值与导数一、课前准备1课时目标（1）了解函数最值的意义，了解最值与极值的区别和联系.（2）会求闭区间上函数的最大值和最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.2基础预探(1) 函数的最大值与最小值：在闭区间上图象连续不断的函数在上 最大值与最小值(2) 利用导数求函数的最值的基本步骤 设函数在在（a,b）内可导，在闭区间上图象是 的，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的 ；将的各极值与 比较，得出函数在上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.二、学习引领对于函数的最值问题，应该注意以下几点：1. 依据最值的含义,在闭区间上图象连续不断的函数

2、，在上,既有最大值又有最小值2. 在开区间内图象连续的函数不一定有最大值与最小值如函数在内连续，但没有最大值与最小值.3. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的4. 函数在闭区间上的图象连续不断，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件如函数在上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其图象却不是连续不断的,如图所示.5. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个没有.6. 若函数f(x)只有一个极值，则必为最值.若函数f(x)在闭区间a,b上递增，则，；若函数f(x)在闭区间a,b

3、上递减，则，.三、典例导析题型一 用导数求函数的最值例1 已知a为实数，,若，求在2,2 上的最大值和最小值.思路导析：先求导,再由求实数a.令,求极值点和极值,最后比较大小求最值.解: 由原式得由 得,此时有.由得或x=1 .当变化时，的变化如下表-递增极大值递减极小值递增所以f(x)在2,2上的最大值为最小值为规律总结：事实上,用导数求一些非基本初等函数的最值问题,是求函数极值的进一步深入.当求得函数在一个闭区间上的极值后,再与区间端点的函数值进行大小比较,即可求得最值,所以其关键步骤,还是求函数极值.变式训练1设函数.试求函数在区间上的最大值.题型二 由函数最值求参数的取值或取值范围例2

4、 已知函数，其中若函数在处取得最大值，求实数的取值范围思路导析:求实数的取值范围,一般需要找到关于的等价不等式,通过解不等式,得到的范围.依据函数的特点,判断函数取得最值的可能时刻,并求出可能的表达式,最后依据最值的意义得不等式,解不等式得解.解:由题意知,. 则.令，即. 由于 ，可设方程的两个根为，由得.由于所以，不妨设，当时,为极小值,所以在区间上,在或处取得最大值；当时，由于在区间上是单调递减函数，所以最大值为.综上，函数只能在或处取得最大值又已知在处取得最大值，所以,即，解得，又因为，所以（规律总结:上述问题中,判断取得最值的时刻,用参数a表示可能的最值，是解决该类问题的关键.等价转

5、化是主要解题过程.变式训练2已知函数在内有最小值.(1)求的取值范围;(2)函数在内能否有最大值？若能,求出的取值范围,若没有,说明理由.题型三 实际问题中的函数最值例3 为倡导环保低碳生活,同时增加企业利润,某低碳科技企业拟投入适当的广告费对产品进行促销,在2016年内,预计年销量(万件)与广告费 (万元)之间的函数关系为,已知生产此产品的年固定投人为3万元，每生产l万件此产品需再投入32万元若每件售价为“年平均每件成本的150”与“年平均每件所占广告费的50”之和.年利润=年收入年成本年广告费.(1)试将年利润(万元)表示为年广告费 (万元)的函数.(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利

6、润最大?思路导析:依据题设要求, 将年利润(万元)表示为年广告费 (万元)的函数,判断该函数的极值,并求最值,回答实际问题.解：(1)由题意，每年产销万件,共计成本为万元,销售收入是.故所求的函数关系式为. (2)由(1)可得：,令，则或(舍去).又，又在上只有一个极值点，所以每年广告费投入7万元时,企业年利润最大规律总结:依题意建立目标函数,是解决该类问题的关键步骤.当该目标函数为简单非基本初等函数时,一般通过求导研究该函数的性质,判断取得最值的时刻,求得最值.在实际问题中,若只有一个极值点,则该极值点为最值点.变式练习3 制作一个圆柱形锅炉,容积为两个底面的材料每单位面积的价格为元，侧面的

7、材料每单位面积价格为元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是（ ）A. B. C. D. 四、随堂练习1下列说法中正确的是（ ）A.函数若在定义域内有最值和极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值D.若函数在给定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可能有多个极值2在区间上的最大值为，则=（ ）A.B. C. D. 或3. 已知函数(为常数）在有最大值，那么此函数在 上的最小值是（ ）A. B. C. D.以上都不对4. 函数的最大值是 .5. 函

8、数的值域为 .6. 已知函数求函数在区间上的最小值；五、课后作业1已知函数在区间上有最小值,则函数在区间上一定（ ） A有最小值B有最大值C是减函数 D是增函数2电动自行车已逐渐成为重要的交通工具之一.电动自行车的耗电量y与速度(公里)之间有如下关系：,为使耗电量最小,则速度应定为每小时 ( )公里?A.10 B.15 C.20 D.253. 设函数,则在区间的最小值为 4. 将8分为两数之和,使两个数的立方和为最小,则分成的两数为 . A.2和6 B.4和4 C.3和5 D.以上都不对5. 将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成圆,一段变成正方形问如何截法使正方形与圆面积之和最小,并

9、求出最小面积6. 已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.1.3第三课时 函数的最大(小)值答案及解析一、2. 基础预探(1) 必有;(2) 连续不断; 极值; 、.三、变式练习1.解:函数的定义域为.对函数求导得:，所以函数在区间上单调递增，所以当时,函数取得最大值 ,. 2. 解:.令在内有解,即.(1) 由题意知,即,而且当时, 时,所以当时, 在内取极小值且唯一,故为最小值,因此的取值范围为.(2)由(1)可知,如果在内有解,只可能是,而且在 两侧的符号只能是左负右正,不具备取极大值的条件,所以函数在内没有最大值.3. 答案:C. 解析：设锅炉底面半径和高分别为,

10、则,总造价,得即时取极大值,即最大值.故选C.四、随堂练习1答案:D. 解析：根据函数极值和最值的定义知, 函数在给定区间上有最值,最多有一个最大值和一个最小值,但极值可以有多个,故选D.2. 答案:C.解析：在上的最大值为，且在时，解之或（舍去），选C3. 答案：A.解析:,解得或(舍去)，为极大值点且唯一,为最大值点.所以.,故最小值为.故选A.4. 答案:.解析：,因此,当时,.5.答案: .解析:,解得,可判断为极大值点,当 时,所以值域为.6. 解：由，可得当单调递减；当单调递增,所以函数在区间上单调递增.又,所以函数在区间上的最小值为五、课后作业1.答案D.解析:由题设知,因为，又,所以在递增.2. 答案:C.解析:,解得,此时取极小值且唯一,即最小值,所以电动自行车的速度应定为公里/小时.3. 答案:.解析：,可以判断为极小值点且唯一,即最小值点.最小值为.4.答案: 4和4.解析：设其中一数为，则另一数为,两数的立方和为.,当时,取极小值且唯一,即最小值,所以分成的两数为4和4.5. 解：设弯成圆的一段长为cm,另一段长为cm，设正方形与圆的面积之和为，则所以，令得( cm)