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高中数学《简单几何体》导学案北师大版必修

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第1课时　简单几何体 1.通过观察实物模型认识柱、锥、台、球的结构特征. 2.会运用柱、锥、台、球的特征描述现实生活中的简单几何体的结构. 3.培养和发展空间想象能力和运用图形语言进行交流的能力. 在中国,蜿蜒的长城、烧毁的阿房宫以及现在保存完美的故宫,在外国,有古老的埃及金字塔,巴黎的凯旋门、伦敦的钟塔、白金汉宫等,在你被建筑物的精心设计和外观的美感所震撼的时候,你是否意识到几何学在古代就已经被深入地研究及完美地应用,我们在初中接触过平面几何,如今我们将进一步深入到三维空间,初步接触立体几何知识. 问题1:给出下列图片: 观察这些图片中的物体,你能得到什么样的空间几何体?请画出轮廓图表示,并将它们进行分类. 可作两种不同的分类:(1)(2) 图片中展示的几何体有:　柱体、锥体、台体、球体　四类. 问题2:棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的定义 (1)有两个面互相　平行　,其余各面都是　平行四边形　,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫棱柱. (2)有一个面是　多边形　,其余各面都是有一个　公共顶点　的三角形,由这些面所围成的多面体叫棱锥. (3)以　矩形　的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的旋转体叫圆柱. (4)以　直角三角形　的一条　直角边　所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥. (5)用一个　平行　于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台. (6)用一个　平行　于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台. (7)以　半圆　的直径所在的直线为旋转轴,　半圆面　旋转一周形成的旋转体叫作球体,简称球. 问题3:柱体、锥体、台体之间有什么联系? 柱体、锥体、台体之间既有区别又有联系,并且在一定的条件下可以相互转化.当台体的　上底面　与　下底面　相同时,台体就转化为柱体,当台体的　上底面　收缩为一个点时,台体就转化为锥体. 问题4:前面学过柱、锥、台、球是一种非常规则的几何体,我们称之为简单几何体,但还有一些几何体(如图所列举的)是由几个简单的几何体组合而成,我们称之为组合体.下列三个组合体分别是由哪些简单几何体组合而成?又是如何组合而成的?简单组合体有哪几种常见组合形式? 图①:由　四棱柱　和　四棱锥　拼接组合而成; 图②:在长方体中截去一个　三棱锥　而得到; 图③:在圆台中挖去一个　圆锥　得到的几何体. 简单组合体有两种组合形式:一种是由简单几何体　拼接　而成;另一种是从简单几何体中　截去或挖去　一部分而成. 1. 下图所示的四个几何体,其中判断正确的是(　　). A.(1)不是棱柱　　　　B.(2)是棱柱　　　　　C.(3)是圆台　　　　　D.(4)是棱锥 2.绕直角三角形的一边所在直线旋转一周,形成的几何体是(　　). A.圆锥 B.圆台 C.两个圆锥的组合体 D.不能确定 3.半圆以它的直径为旋转轴,旋转一周所成的几何体是　　　　. 4.如图是一个奖杯的形状,该奖杯大致是由几个简单几何体组成的? 棱柱、棱锥和棱台的几何特征 观察下列几何体,然后回答问题: 　　(1)哪些是棱柱? (2)哪些是棱锥? (3)哪些是棱台? 圆柱、圆锥和圆台的几何特征 若下图中的平面图形绕直线l旋转一周,试说明形成的几何体的结构特征. 轴截面的应用 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台的母线长. 指出所给三个几何图形的底面、侧面、顶点、棱,并指出它们分别由几个面围成,各有多少条棱?多少个顶点? 由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形如图所示,若将它绕轴旋转180后形成一个组合体,下面说法不正确的是(　　). A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B.该组合体仍然关于旋转轴对称 C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D.该组合体中的球和半球只有一个公共点 圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径以及两底面面积之和. 1.下列几何体中是柱体的有(　　). A.1个　 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列几何体中是台体的是(　　). 3.用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则圆柱的底面半径是　　　　　. 4.根据下列关于几何体的描述,说出几何体的名称: (1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的六边形,其他各面都是平行四边形; (2)由五个面围成,其中一个面是四边形,其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形; (3)由五个面围成,其中上、下两个面是相似三角形,其余各面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点. (2009年全国Ⅱ卷)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到下面的平面图形,则标“△”的面的方位是(　　). A.南　 B.北 C.西　 D.下 　　考题变式(我来改编): 第一章　立体几何初步 第1课时　简单几何体 知识体系梳理 问题1:柱体、锥体、台体、球体 问题2:(1)平行　平行四边形　(2)多边形　公共顶点　(3)矩形　(4)直角三角形　直角边　(5)平行　(6)平行 (7)半圆　半圆面 问题3:上底面　下底面　上底面 问题4:四棱柱　四棱锥　三棱锥　圆锥　拼接　截去或挖去 基础学习交流 1.D　显然(1)符合棱柱的定义,(2)不符合;(3)中两底面不互相平行,故选D. 2.D　要注意分情况讨论:若绕一条直角边所在的直线旋转,则形成一个圆锥;若绕斜边所在直线旋转,则形成两个共底面的圆锥构成的组合体. 3.球　所形成的曲面是球面,球面所围成的几何体是球. 4.解:通过实物观察大致可分为三部分,底座是一个四棱台,中间部分是个四棱台,上面是一个球,所以该奖杯大致是由两个棱台和一个球组成. 重点难点探究 探究一:【解析】(1)①③⑤是棱柱;(2)⑦是棱锥;(3)⑥是棱台. 【小结】几何体形状的判断要严格按照定义来处理,要一字一句来判断,否则容易出现误判. 　　探究二:【解析】过原图中的折点向旋转轴引垂线,这样便可得到三个规则图形:矩形、直角梯形、直角三角形,旋转一周后便得到一个组合体,该组合体是由圆柱、圆台和圆锥组合而成的. 【小结】对于不规则平面图形绕轴旋转的问题,首先要对原平面图形作适当的分割,一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆周)等基本图形,然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析. 　　探究三: 【解析】设圆台的母线为l,截得圆台的上、下底面半径分别为r、4r. 根据相似三角形的性质得,=,解得l=9. 所以,圆台的母线长为9 cm. 【小结】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质,利用相似三角形中的相似比,得出相关几何变量的方程(组). 思维拓展应用 应用一:图(1)中,底面A1C1、AC,侧面A1B1BA、B1C1CB、C1D1DC、DD1A1A共有6个面;顶点A1、B1…共8个;棱A1B1、B1C1、AA1、BB1…共12条. 图(2)中,底面ABCD、侧面SAB、SBC、SCD、SDA共5个面;顶点S及底面四边形的顶点A、B、C、D共5个;侧棱SA、SB、SC、SD及底面多边形的各边共8条棱. 图(3)中,上、下底面A1C1及AC、侧面ABB1A1、BCC1B1、CDD1C1、DAA1D1共6个面;顶点A、B、A1、B1…共8个;棱AA1、AB、A1B1…共12条. 　　应用二:A　等腰梯形旋转形成的是圆台、矩形旋转形成的是圆柱、半圆旋转形成的半球、圆旋转形成的是球、倒三角形旋转形成的是圆锥. 　　应用三:设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,如图,∠ASO=30, 在Rt△SOA中,=sin 30, ∴SA=2r. 在Rt△SOA中,=sin 30, ∴SA=4r. 又SA-SA=AA, 即4r-2r=2a,r=a. ∴S=S1+S2=πr2+π(2r)2=5πr2=5πa2. ∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为5πa2. 基础智能检测 1.D　根据棱柱定义知,这4个几何体都是棱柱. 2.D　A中的几何体侧棱延长线没有交于一点;B中的几何体没有两个平行的面;很明显C中几何体是棱锥. 3.或　设底面半径为r,有两种情况: (1)长为底面周长,则2πr=3π,r=; (2)宽为底面周长,则2πr=π,r=. 4.解:(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的六边形,其他各面都是平行四边形,可使相邻两个面的公共边都相互平行,故该几何体是六棱柱; (2)该几何体的一个面是四边形,其他各面都是全等的三角形,并且这些三角形有一个公共顶点,因此该几何体是四棱锥; (3)该几何体上、下两个面是相似三角形,其余各面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点,因此该几何体是三棱台. 全新视角拓展 B　将展开图还原成正方形,按图上所示,中间横排四个方格从右到左依次是东→上→西→下,于是,上图下方方格必是南,带“△”的方格必是北,故选B.

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