高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲小结学案新人教A版选修

1、第一讲 相似三角形的判定及有关性质整合提升知识网络典例精讲【例1】 如图1-1已知ABC中,AD是BAC的平分线,求证:=.图1-1思路分析:比例线段常由平行线而产生,在没有平行时,可通过添加平行线而促成比例线段的产生.证法一:过C作CEAD交BA的延长线于E.ADCE,=.又1=3,2=4,AD平分BAC,1=2.3=4.AC=AE.=. 温馨提示 这里使用了平行线分线段成比例定理推论,通过等线代换方法使问题得证.证法二:过D作DEAC交AB于E,则2=3.图1-2又1=2,1=3.EA=ED.又=,=.=.温馨提示 本题利用平行线及等比代换,使问题得证.证法三:过D作DEAC交AB于E,D

2、FAB交AC于F.易证四边形AEDF是菱形.图1-3DE=DF.由于BDEDFC,=.又=,=.温馨提示 这种方法使用了相似三角形的边对应成比例.图1-4证法四:设ABC中BC边上的高为h,则SABD=BDh,SACD=CDh.过D分别作DEAB于E,DFAC于F,则SABD=ABDE,SACD=ACDF.于是=.又1=2,DE=DF.=.温馨提示 利用三角形面积也是一种常用方法.面积方法常有事半功倍之效.【例2】 如图1-5,梯形ABCD中,BACD,对角线AC、BD交于点E,过E作FGAB,交AD、BC于G、F点.(1)求证:EF=EG.(2)求证:+=.(3)若直线l平行于底边但不过E,

3、与BC、AC、BD、AD分别交于F、M、N、G,试问:FM与GN有何关?并说明理由.图1-5证明:(1)ABFGCD,=.EF=EG.(2)EFAB=AB=.同理,CD=.由(1)知EF=EG.+=.(3)FGFG,.而EF=GE.FM=GN.温馨提示(1)中利用比例式证明线段相等,=,则a=b.(2)利用比例法证明形如线段关系式,常采用思路是设法证明,且m1+m2=d,则=1.从而.(3)利用运动变化思想以及从特殊到一般的思考方法,是我们研究数学问题的一般规律.【例3】 如图1-6-,ABC中BAC=90,ADBC,DEAB,D、E为垂足.求证: =.图1-6思路分析:左边是平方,需设法将左

4、边降幂或将右边升幂或者利用相似三角形面积比等于相似比的平方.证法一:由射影定理得AB2=BDBC,AC2=CDBC,=.DEAB,CAAB.DEAC.=.=.温馨提示 降幂法是欲证,先证a2=be,则,再证或先证a2=ef,b2=eg,则,再证.证法二:DEAC,BEDBAC.=.=.由射影定理DE2=AEBE.=.温馨提示 升幂法是欲证,先证(x为待定线段),则,再证x2=cd,则.证法三:易证ABDCAD.=()2=.又=.DEAC,=.=.温馨提示 利用相似三角形面积比等于相似比也是此类题的常用作法.证法四:ABDCBA,=. ACDBCA,=. , =.而DEAC,=.=.温馨提示 将

5、分解为和,这称为凑比法.【例4】如图1-7,已知ABC中DEBC,且AD2=AFAB.求证:EFCD.图1-7思路分析:要证EFCD,需证=,而由AD2=AFAB,则=.证明:DEBC,=.AD2=AFAB,=.=.EFCD.【例5】 如图1-8,已知在ABC中,D是BC边上的中点,且AD=AC,DEBC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.(1)求证:ABCFCD.(2)若SFCD=5,BC=10,求DE的长.图1-8(1)证明:AD=AC,ACD=ADC.DEBC,BD=DC,BE=CE.B=DCF.ABCFCD.(2)解:过点A作AMBC,垂足为M.由ABCFCD,BC=2CD,=()2=4.SABC=20.20=10AM.AM=4.又DEAM,=.DM=DC=,BM=BD+DM,BD=BC=5,