（黄冈名师）高考数学4.7应用举例课件理新人教A版.pptx

1、第七节 应 用 举 例(全国卷5年0考),【知识梳理】 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线_的角 叫仰角,在水平线_的角叫俯角(如图).,上方,下方,2.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图).,3.方向角 相对于某一正方向的水平角. (1)北偏东,即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图).,(2)北偏西,即由指北方向逆时针旋转到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似.,4.坡角与坡度 (1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图,角为坡角). (2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之 比(如图,i为坡度).坡度又称为坡比.,【常用

2、结论】 1.两种角 (1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角. (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.,2.解与三角形有关的实际应用问题的四个步骤 (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型.,(3)选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、近似计算要求.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为+=180.(),(2)俯角是铅垂

3、线与视线所成的角,其范围为 () (3)方位角大小的范围是0,2,方向角大小的范围一 般是 (),提示:根据仰角、俯角、方位角和方向角的概念知(1)(2)(3)都是错误的. 答案:(1)(2)(3),2.一船以每小时 km的速度向东行驶,船在A处看到 一灯塔B在北偏东60,行驶4小时后,船到达C处,看到 这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔的距离为 () A.60 kmB.60 km C.30 kmD.30 km,【解析】选A.画出图形如图所示,在ABC中,BAC= 30,AC=415 =60 ,B=45,由正弦定理得,所以 所以船与灯塔的距离为60 km.,3.测量河对岸某一高层建筑物AB的高

4、度时,可以选择与建筑物的最低点B在同一水平面内的两个观测点C和D,如图,测得BCD=15,BDC=30,CD=30 m,并且在C处测得建筑物顶端A的仰角为60,则建筑物AB的高度为(),【解析】选B.在BCD中,BCD=15,BDC=30, CBD=135,由正弦定理得 在RtABC中,AB=BC.tanACB=,题组二:走进教材 1.(必修5P11例1改编)为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测量A,B两点的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50 m, ABC=105,BCA=45.可以计算出A,B两点的距离为(),【解析】选A.由正弦定理得 所以

5、,2.(必修5P14例5改编)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=_m.,【解析】在ABC中,CAB=30,ACB=75-30 =45,根据正弦定理知, 即BC= 在RtBCD中,所以 答案:,考点一测量距离问题 【题组练透】 1.如图所示,某旅游景点有一座风景秀丽的山峰,山上 有一条笔直的山路BC和一条索道AC,小王和小李打算不 坐索道,而是花2个小时的时间进行徒步攀登,已知,ABC=120,ADC=150,BD=1 km,AC=3 km.假设小王

6、和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米,请问:两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰?(即从B点出发到达C点),【解析】在ABD中,由题意知,ADB=BAD=30,所 以AB=BD=1 km,因为ABD=120,由正弦定理得 在ACD中, 由AC2=AD2+CD2-2ADCDcos 150,得 即CD2+3CD-6=0,解得 BC=BD+CD=,两个小时小王和小李可徒步攀登1 2502=2 500米,即 2.5千米,而 所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰.,2.如图,海中有一小岛C,一小船从A地出发由西向东航 行,望见小岛C在北偏东60,航行8海里到达B处,望见 小岛C在北偏

7、东15,若此小船不改变航行的方向继续 前行2( -1)海里,则离小岛C的距离为(),A.8( +2)海里 B.2( -1)海里 C.2( +1)海里D.4( +1)海里,【解析】选C. 所以离小岛C的距离为,【互动探究】若题1条件“BD=1 km,AC=3 km”变为“BD=200 m,DC=300 m”,其他条件不变,则这条索道AC长为_.,【解析】在ABD中,BD=200,ABD=120. 因为ADB=30,所以DAB=30. 由正弦定理,得 所以 所以,在ADC中,DC=300 m,ADC=150, 所以AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC =390 000,所以AC= 故这条

8、索道AC长为 m. 答案: m,【规律方法】测量距离问题的解法 选择合适的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,再利用正、余弦定理求解. 提醒:解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据(原始数据),少用间接求出的量.,【拓展】三角形中的基本关系 (1)射影定理: a=bcos C+ccos B b=ccos A+acos C c=acos B+bcos A,(2)面积公式: (R是三角形外接圆半径) (r是三角形内切圆半径) (p是三角形周长的一半),考点二测量高度问题 【典例】(1)如图为测量出山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点

9、的仰角MAN=60, C点的仰角CAB=45以及MAC=75,从C点测得MCA=60,已知山高BC=100 m,则山高MN为 (),A.100 mB.150 mC.200 mD.250 m,【解析】选B.在RtABC中,CAB=45,BC=100 m,所 以AC=100 m,在AMC中,MAC=75,MCA=60, 从而AMC=45,由正弦定理得: 在RtMNA中,(2)在一幢10 m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60,塔基的俯角为30,假定房屋与塔建在同一水平地面上,则塔的高度为_m.,【解析】如图所示过房屋顶C作塔AB的垂线CE,垂足为E,则CD=10,ACE=60,BCE=30,所以B

10、E=CD=10,BC=2CD=20, AEC=90,所以AC=2CE=20 , 所以 所以AB=AE+BE=30+10=40. 答案:40,【误区警示】 本例(1)中容易出现的错误是把角的含义弄错,把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.,【规律方法】求解高度问题的三个关注点 (1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键.,(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问

11、题.,【对点训练】 如图,在离地面高400 m的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15,山脚A处的俯角为45,已知BAC=60,则山的高度BC为() A.700 mB.640 m C.600 mD.560 m,【解析】选C.根据题意,可得在RtAMD中, MAD=45,MD=400, 所以 因为在MAC中,AMC=45+15=60, MAC=180-45-60=75,所以MCA=180-AMC-MAC=45, 由正弦定理,得 在RtABC中,BC=ACsinBAC=,考点三测量角度问题 【明考点知考法】 借助正弦定理或余弦定理解决航行中的问题,是很常见的解法,很多题型中两个定理都用,主要涉及航行

12、中的方向问题,以及时间与速度问题.试题常以选择题、填空题形式出现,有时也以解答题的形式出现.,命题角度1航行问题中的方向问题 【典例】一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东 75,距离为12 海里,灯塔C在A的北偏西30,距离 为12 海里,该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时 再看灯塔B在其南偏东60方向,则此时灯塔C位于游轮 的 (),A.正西方向 B.南偏西75方向 C.南偏西60方向 D.南偏西45方向,【解析】选C.如图,在ABD中,B=45,由正弦定理有 在ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACAD cos 30,因为 AD=24,所以CD=12,由正弦定 理得 故

13、CDA=60或者,CDA=120.因为ADAC,故CDA为锐角,所以CDA=60.,【状元笔记】 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,(1)画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,(2)用正弦定理或余弦定理解三角形,(3)将解得的结果转化为实际问题的解.,命题角度2航行问题中的时间与速度问题 【典例】在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇 发现在北偏东45方向,相距12 n mile的水面上,有蓝 方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75 方向前进,若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿,北偏东45 +方向拦截蓝方的小艇.若要

14、在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.,【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=10 x,ABC=120. 根据余弦定理得(14x)2=122+(10 x)2-240 xcos 120, 解得x=2. 故AC=28,BC=20. 根据正弦定理得,解得 所以红方侦察艇所需的时间为2小时,角的正弦值 为,【状元笔记】 解决测量角度问题的注意事项 (1)明确方位角或方向角的含义. (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步.,(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的“联袂”

15、使用. 提醒:方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.,【对点练找规律】 1.已知岛A南偏西38方向,距岛A 3海里的B处有一艘 缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向 岛北偏西22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度 行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?,【解析】如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC= 0.5x,AC=5,依题意,BAC=180-38-22=120,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120, 所以BC2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14.

16、 又由正弦定理得 所以ABC=38, 又BAD=38,所以BCAD,故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.,2.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.,(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船

17、相遇,并说明理由.,【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则 故当 时,即小艇以 海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航 行距离最小.,(2)设小艇与轮船在B处相遇.,则v2t2=400+900t2-22030tcos(90-30), 故 因为0v30, 所以 即,又 故v=30时,t取得最小值,且最小值等于 . 此时,在OAB中,有OA=OB=AB=20. 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/小时.,数学能力系列14应用举例问题中的数学建模能力 【能力诠释】数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学知识与方法构建数学模型解决问题的素养.在三角问题中,主要涉及

18、测量角度、高度等,通过正、余弦定理模型解决问题,最终解决实际问题.,【典例】(2018武汉模拟)某气象仪器研究所按以下 方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高 度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的 垂直弹射,观测点A,B两地相距100米,BAC=60,在A 地听到弹射声音的时间比在B地晚 秒.A地测得该仪 器弹至最高点H时的仰角为30.,(1)求A,C两地的距离. (2)求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒),【解析】(1)由题意,设AC=x, 则 在ABC中,由余弦定理得 BC2=BA2+AC2-2BAACcosBAC, 即(x-40)2=10 000+x2-100 x,解得x=420. 所以A,C两地间的距离为420 m.,(2)在RtACH中,AC=420