《工程随机过程》复习提要.ppt

1、工程随机过程复习提要,一、特征函数 1.会求给定分布的随机变量的特征函数 2.会利用特征函数的几个简单性质进行求解 （1）线性变换的特征函数 （2）独立随机变量和的特征函数 （3）独立随机变量线性组合的特征函数,二、随机过程的基本概念及分类 1.随机过程的一维分布求解 2.简单随机过程的二维分布求解 3.随机过程的数字特征的求解 （1）均值函数 （2）自相关函数 （3）协方差函数 （4）方差函数 4.几个常见随机过程的特性 （1）正态过程 （2）Poisson过程 （3）维纳过程,三、马尔科夫过程 1.马尔科夫链 （1）一步转移概率矩阵的求解 （2）利用一步转移概率矩阵判断各状态 （3）利用一

2、步转移概率矩阵求解高阶转移概率矩阵 （4）常返态和非常返态的判定 （5）马尔可夫链预测 （6）马尔可夫链的平稳分布的求解 2.时间连续、状态离散的马尔可夫链 （1）利用向前、向后方程求解转移概率函数,四、平稳过程 1.宽平稳过程的判定 2.二阶矩过程的定义 3.均方极限的定义,五、时间序列分析 1.三个线性模型的基本性质 （1）AR(p)模型的平稳性判定 （2）MA(q)模型的可逆性判定 （3）ARMA(p,q)模型的平稳性和可逆性判定 2.自相关函数的求解 （1）MA(q)模型自相关函数的求解 （2）AR(p)模型的自相关函数的求解,例1 设随机过程X(t)=Xcos(t)( t +)，其中

3、为常数，X是服从正态分布的随机变量，E(X)=0，D(X)=1。求X(t)的一维分布密度函数和协方差函数。,例2 设随机过程X(t)和任一实数x，定义随机过程如下 证明：Y(t)和RY(t1, t2)分别是X(t)的一维和二维分布函数。,例3 设有随机过程X(t)，tT和常数a，试以X(t)的相关函数表示随机过程Y(t)=X(t+a)X(t)，tT的相关函数。,例4 设Z(t)=X+Yt， t +。若已知二维随 机变量(X,Y)的协方差矩阵为 ，求Z(t) 的协方差函数。,例5 设有独立重复试验序列xn, n1。以Xn=1记第n次试验时事件A发生，且PXn=1=p；以Xn=0记第n次试验时事件

4、A不发生，且PXn=0=1p=q。求k步转移概率矩阵。,例6 设xn, nT是一个齐次马尔科夫链，其状态空间E=a, b, c，转移概率矩阵为,例7 （天气预报问题）设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。因此问题是两个状态的马尔科夫链。求今天有雨且第四天仍有雨的概率（取=0.7，=0.4）,例8 甲乙两人进行一场比赛，设每局比赛甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，和局的概率为r，且p+q+r=1.设每局比赛胜者记1分，负者记-1分，和局记零分。当有一人获得2分时比赛结束。以Xn表示

5、比赛至n局时甲获得的分数，则Xn，n1是齐次马尔可夫链。 （1）写出状态空间E； （2）求出二步转移概率矩阵； （3）求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率。,例9 设E=1,2,3,4，其一步转移概率矩阵为 试对其状态进行分类，确定哪些状态为常返态。,例10 已知马尔可夫链xn, n0的状态空间为E=1,2,3,4，其一步转移概率矩阵如图所示，试对其状态进行分类并判断哪个是常返态。,例11 设一马尔可夫链的转移概率矩阵为 讨论此马氏链的遍历性。,例12 设齐次马氏链的转移概率矩阵为 讨论马氏链的遍历性，并求其平稳分布。,例13 如图给出了六个车站间的公路连通情形。设汽车每天从一个车站驶向

6、一直接相邻的车站，并当晚到达该站留宿，次日继续相同的活动。设每天汽车开往临近任一车站都是等可能的，试证明经很长时间后，各站每晚留宿的汽车比例趋于稳定，求出这个比例。,例14 设参数连续、状态离散的马尔科夫过程X(t), t0，其状态空间为E=1,2,m，当i j且 i, j=1,2, ,m时，qij=1；当i=1,2, ,m时，qii= (m1)。求pij(t)。,例15 设有正弦波过程X(t)=Acos(t+)，其中振幅A、角频率是常数，相位是在, 上服从均匀分布的随机变量，求X(t)的均值与相关函数，判断X(t)，tT是否是平稳过程？,例16 设X(t)，t(, +)是一个零均值的平稳过程

7、，且不恒等于一个随机变量，问X(t)+X(0)，t(, +)是否仍是平稳过程？,例17 设X(t)，tT是一均方可微的实平稳过 程，令 ，tT，证明Y(t), tT是 实平稳过程。,例18 给定一个随机变量，其特征函数为(v)，另给定常数，构造一个随机过程X(t)=cos(t+)，证明：当且仅当(1)=(2)=0时，X(t)是平稳过程。,例19 设随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生：X(t, e1)=1，X(t, e2)=sint，X(t, e3)=cost。 （1）求均值和相关函数； （2）讨论X(t), tT是否为平稳过程。,例20 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取值-1和2，求Z(t)的均值函数和相关函数，并讨论Z(t)的平稳性。,例21 判断下列线性模型的平稳性和可逆性：,例22 已知MA(