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文档简介

1、1,第九章,多元函数积分学,重积分,曲线积分,二重积分,三重积分,对弧长,对 坐标,2,作为定积分的推广，可沿不同线路进行,如果着眼于被积函数，可有重积分的概念（当然积分区域应跟着变）；,如果着眼于积分区域的变化，可由平直区域向弯曲的区域变化，从而产生曲线积分与曲面积分的事实,但无论如何，它们都与定积分有着千丝万缕的联系，同学在学习中应仔细体会之，比较之，利用之,特别是计算方面，所有的积分都是化成定积分来计算的，因此说定积分的技术高低决定本章内容的掌握程度也毫不为过,3,9.1二重积分的概念与性质,柱体体积=底面积高,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,一、问题

2、的提出,4,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,5,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,6,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,7,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,8,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,9,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,10,步骤如下：,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,11,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小

3、块，,取典型小块，将其近似 看作密度均匀的薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,12,二、二重积分的定义,舍弃上述两例的实际意义，可抽象出二重积分的数学定义,定义的叙述见教材p145,积分区域,被积函数,面积元素,被积表达式,积分和,13,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,当被积函数在积分区域的不同子区域上有正有负，则二重积分是这些部分区域上曲顶柱体体积的代数和,（充分条件）,14,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,由于积分区域的划分是任意的，那么可以,15,三、二重积分的性质,二重积分有类似于定积分的性质：,若被积函数在有界闭区域D上连续，则,）常数可从积分号内提出，即,）和的积分等于积分之和，即,这两条被称为“积分具有线性性质”,16,）对区域具有可加性,）若在D上,特殊地,则有,）若 为D的面积，,单调性,17,）若在区域上，,估值不等式,中值定理,以上常用性质都可以用二重积分的定义证明，而且在计算和推证一些与二重积分有关的性质时，有很好的作用,18,例,比较二重积分,与,的大小其中积分区域由x轴、y轴及直线,围成,解积分区域如图示,对于区域上任意点(x, y)，有,因此在上有,由二重积分的单调性，

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