电磁场序-矢量分析与场论.ppt

1、天津大学电工电子技术中心,updated date 2009.9.12,场 论 复 习,0.1 标量场和矢量场,场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量.,例1 在直角坐标下,标量场,如温度场,电位场,高度场等;,矢量场,如流速场,电场,涡流场等.,形象描绘场分布的工具-场线,矢量场-矢量线,标量场-等值线(面).,其方程为,其方程为,三维场,在直角坐标下:,二维场,图0.1.2 矢量线,图0.1.1 等值线,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？,例2 求矢量场 通过点M(2,-1,1)的 矢量线方程. 解: 矢量线应该满足的微分方程为 由上面第一个方程得 。

2、另一方面 将坐标M(2,-1,1) 代入，得最终方程为,矢量线的推广: 矢量面:对于场中任意一条曲线C(非矢量线),在其上的每一点处,必然有一条矢量线通过,这些矢量线的全体就构成一张通过曲线C的曲面,称为矢量面. 矢量管:如果C是一条封闭曲线时,通过C的矢量面就构成一管形曲面,称为矢量管.,图0.1.3 矢量面与矢量管,例2 求矢量场 通过曲线 的矢量管方程. (自己认真思考和推导!),设,当 ,即 与 方向一致时, 为最大.,设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P 可微,则 在点 P 沿任意方向 l 的方向导数为:,梯度(gradient),哈密顿算子,式中,则有:,式中 ， ， ，分

3、别是与x, y, z轴的夹角,例1 三维高度场的梯度,例2 电位场的梯度,高度场的梯度,与过该点的等高线垂直；,数值等于该点位移的最大变化率；,指向地势升高的方向。,电位场的梯度,与过该点的等位线垂直；,指向电位增加的方向。,数值等于该点的最大方向导数；,二. 梯度的物理意义,标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;,梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.,梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数;,图0.2.1 三维高度场的梯度,图0.2.2 电位场的梯度,矢量 E 沿有向曲面S 的面积分, 0 (有正源), 0 (有负

4、源), = 0 (无源),图0.3.1 矢量场的通量,图0.3.2 矢量场的通量,若S 为闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:,二、散度,如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在，即,三、散度的物理意义,散度代表矢量场的通量源的分布特性, A= 0 (无源）, A= 0 (负源), A= 0 (正源),在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。,矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；,四、高斯公式(散度定理),高斯公式,该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系

5、。,矢量函数的面积分与体积分的互换。,图0.3.3 散度定理,由于 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合面S的通量,该环量表示绕线旋转趋势的大小。,水流沿平行于水管轴线方向流动 =0，无涡旋运动,流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源,图0.4.1 环量的计算,二、旋度,1. 环量密度,过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S点P时,存在极限,环量密度,取不同的路径，其环量密度不同。,2. 旋度,旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。,旋度(curl),它与环量密度的关系为,在直角坐标系下,

6、三、旋度的物理意义,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。,在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；,点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。,四、斯托克斯(Stockes)定理,A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为,Stockes定理,在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。,矢量函数的线积分与面积分的互换。,该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系,若矢量场处处A=0，称之为无旋场。,图 0.4.3 斯托克斯定理,0.5 亥姆霍茨定理,亥姆霍茨定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。,例：判断矢量场的性质,=0,=0,=0,0,0,=0,0.6 三种特殊形式的场,1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。,2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F